340 kg de extrato de tomate, inicialmente a 20^circ C, são aquecidos num tacho semi esférico agitado e encamisado com 1 m de diâmetro. Utiliza-se vapor ( P=1,94 atm ) como utilidade neste processo. Obtenha: (Dados: U(kW / m^2 ^circ C)=2 ; Cpp(cal g^-1 ^circ C^-1)=0,8 ; rho(g cm^-3)=1,2)
O tempo para o extrato atingir 70^circ C

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem 340 kg de extrato de tomate que começa a 20°C e precisa aquecer até 70°C. Vamos usar princípios de transferência de calor para descobrir quanto tempo isso vai levar. Para isso, vamos precisar saber a quantidade de calor necessário para aquecer o extrato e a taxa de transferência de calor através do tacho semi esférico. As informações que vamos usar são:
  • Potência de transferência de calor, $ U = 2 , kW/m^2\cdot°C $
  • Calor específico do extrato, $ C_p = 0,8 , cal/g\cdot°C $
  • Densidade do extrato, $ \rho = 1,2 , g/cm^3 $
  • Diâmetro do tacho, 1 m
  • Pressão do vapor, $ P = 1,94 , atm $

Passo 2

Primeiro, precisamos converter todas as unidades para o sistema consistente. Vamos converter o calor específico de cal/g°C para kJ/kg°C, já que a potência está em kW e a massa em kg.
Sabemos que:
1 , cal = 4,184 , J
Então,
Cp = 0,8 , cal/gcdot°C times 4,184 , Jcal = 3,347 , J/gcdot°C
Convertendo para kJ/kg°C:
3,347 , J/gcdot°C times 1000 , gkg = 3347 , J/kgcdot°C = 3,347 , kJ/kgcdot°C

Passo 3

Agora, vamos calcular a quantidade de calor necessária para aquecer os 340 kg de extrato de 20°C para 70°C usando a fórmula:
Q = m cdot Cp cdot De
Onde:
- $ m = 340 , kg $
- $ C_p = 3,347 , kJ/kg\cdot°C $
- $ \Delta T = 70°C - 20°C = 50°C $
Então,
m = 340 , kg

Passo 4

Agora, vamos calcular a área da superfície do tacho semi esférico para usar na transferência de calor. Como o tacho é semi-esférico com diâmetro de 1 m, o raio $ r = \frac{1}{2} = 0,5 , m $.
A área de uma esfera completa é:
r = 12 = 0,5 , m
Como é semi-esférico:
Aesfera = 4pi r^2
Substituindo $ r = 0,5 , m $:
A = 2pi r^2

Passo 5

Agora, vamos usar a fórmula da transferência de calor para calcular o tempo necessário:
Q = U cdot A cdot De
Queremos resolver para $ t $:
t
Onde:
  • $ Q = 56.899 , kJ = 56.899 \times 10^3 , J $ (convertendo para Joules)
  • $ U = 2 , kW/m^2\cdot°C = 2000 , W/m^2\cdot°C $
  • $ A = 1,571 , m^2 $
  • $ \Delta T = 70°C - 20°C = 50°C $

Passo 6

Substituindo os valores na equação:
t = 56.899 times 10^3 , J2000 , W/m^2cdot°C times 1,571 , m^2 times 50°C
t = 56.899 times 10^32000 times 1,571 times 50
t = 56.899 times 10^3157.1 times 10^3
t approx 0,362 , segundos

Resposta

O tempo necessário para o extrato de tomate atingir 70°C é aproximadamente 0,36 segundos.

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