340 kg de extrato de tomate, inicialmente a
, são aquecidos num tacho semi esférico agitado e encamisado com 1 m de diâmetro. Utiliza-se vapor (
) como utilidade neste processo. Obtenha: (Dados:
O tempo para o extrato atingir
O tempo para o extrato atingir
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem 340 kg de extrato de tomate que começa a 20°C e precisa aquecer até 70°C. Vamos usar princípios de transferência de calor para descobrir quanto tempo isso vai levar. Para isso, vamos precisar saber a quantidade de calor necessário para aquecer o extrato e a taxa de transferência de calor através do tacho semi esférico. As informações que vamos usar são:
- Potência de transferência de calor, $ U = 2 , kW/m^2\cdot°C $
- Calor específico do extrato, $ C_p = 0,8 , cal/g\cdot°C $
- Densidade do extrato, $ \rho = 1,2 , g/cm^3 $
- Diâmetro do tacho, 1 m
- Pressão do vapor, $ P = 1,94 , atm $
Passo 2
Primeiro, precisamos converter todas as unidades para o sistema consistente. Vamos converter o calor específico de cal/g°C para kJ/kg°C, já que a potência está em kW e a massa em kg.
Sabemos que:
Então,
Convertendo para kJ/kg°C:
Passo 3
Agora, vamos calcular a quantidade de calor necessária para aquecer os 340 kg de extrato de 20°C para 70°C usando a fórmula:
Onde:
- $ m = 340 , kg $
- $ C_p = 3,347 , kJ/kg\cdot°C $
- $ \Delta T = 70°C - 20°C = 50°C $
Então,
Passo 4
Agora, vamos calcular a área da superfície do tacho semi esférico para usar na transferência de calor. Como o tacho é semi-esférico com diâmetro de 1 m, o raio $ r = \frac{1}{2} = 0,5 , m $.
A área de uma esfera completa é:
Como é semi-esférico:
Substituindo $ r = 0,5 , m $:
Passo 5
Agora, vamos usar a fórmula da transferência de calor para calcular o tempo necessário:
Queremos resolver para $ t $:
Onde:
- $ Q = 56.899 , kJ = 56.899 \times 10^3 , J $ (convertendo para Joules)
- $ U = 2 , kW/m^2\cdot°C = 2000 , W/m^2\cdot°C $
- $ A = 1,571 , m^2 $
- $ \Delta T = 70°C - 20°C = 50°C $
Passo 6
Substituindo os valores na equação:
Resposta
O tempo necessário para o extrato de tomate atingir 70°C é aproximadamente 0,36 segundos.