A dureza X de uma peça de aço pode ser pensada como sendo uma variável aleatória uniforme no intervalo (50,70) da escala Rockwel.
Qual é a probabilidade de que uma peça tenha dureza entre 55 e 60?

Passo 1

Beleza, temos um exercício sobre variável aleatória contínua com distribuição uniforme no intervalo (50, 70). Ou seja, a dureza X de uma peça de aço é igualmente provável em qualquer valor entre 50 e 70 na escala Rockwell. O que cai em “matéria” aqui é Probabilidade contínua, mais especificamente a Lei Uniforme Contínua. Para resolver, vamos precisar saber que a densidade de uma uniforme em (a,b) é e que a probabilidade em um subintervalo é a área da “barra” entre esses limites.

Passo 2

Primeiro, lembra da definição de Uniforme Contínua em f(x)= 1b - a, & a < x < b, 0, & caso contrário :
integrala^b 1b-a,dx = b-ab-a = 1á
Isso garante que a “altura” da densidade é constante, e a área total de até seja 1, já que

Passo 3

Para achar a probabilidade de P(55 <= X <= 60) = integral55^60 f(x),dx = integral55^60 170 - 50,dx = integral55^60 120,dx cair entre 55 e 60, usamos:
Aqui e , então .

Passo 4

Calculando a integral constante:
P(55 <= X <= 60) = 120,(60 - 55) = 120times 5 = 520

Passo 5

Simplificando a fração:
520 = 14 = 0,25

Resposta

A probabilidade de uma peça de aço ter dureza entre 55 e 60 é (ou 0,25).

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