Um duto circular de rugosidade varepsilon=0,00001 m com 100 m de comprimento, posicionado na horizontal, está conectado a um reservatório em sua extremidade. Uma bomba é usada para bombear água para o reservatório, onde o nível permanece constante numa cota de 10 m em relação ao conduto. A vazão no duto é constante e igual a 0,01 m^3 / s. Determine a pressão manométrica na bomba necessária para gerar essa vazão, dado que o diâmetro do duto é 75 mm .
Desconsidere perdas de carga localizadas, despreze as cargas de energia cinética e adote a equação de Darcy-Weisbach de perda de carga contínua. Assuma propriedades físicas da água rho=1000 kg / m^3 e mu=0,001 Pa.s.
[Resp: p=159.645 Pa ]

Passo 1

O enunciado pede a pressão manométrica que a bomba deve fornecer para bombear água a Q=0,01 m³/s num tubo horizontal de 100 m de comprimento e diâmetro D=75 mm, até um reservatório a 10 m de cota.
Matéria: Mecânica dos fluidos – escoamento em tubos, perdas de carga contínuas (equação de Darcy–Weisbach) e balanço de energia (Bernoulli).
O que vamos precisar:
  1. calcular a velocidade média v;
  2. determinar o número de Reynolds Re e o regime de escoamento;
  3. achar o fator de atrito f (usando fórmula explícita de Colebrook–White, ex. Swamee–Jain);
  4. calcular a perda de carga contínua pela equação de Darcy–Weisbach;
  5. usar Bernoulli modificado para achar a pressão que a bomba deve gerar.

Passo 2

Calcular a área da seção transversal e a velocidade média:
A = pi D^24, v = QA
Substituindo A = pi,(0,075)^24 approx 4,42times10^-3,m^2, v = 0,014,42times10^-3 approx 2,26,m/s m e m³/s:

Passo 3

Determinar o número de Reynolds para ver o regime de escoamento:
Re = rho,v,Dmu,
com Re = 1000 times 2,26 times 0,0750,001 approx 1,70times10^5, ,kg/m³ e ,Pa·s.
ou seja, escoamento plenamente turbulento.

Passo 4

Calcular o fator de atrito f = 0,25[log10!(varepsilon/D3,7 + 5,74Re^0,9)]^2, pela fórmula de Swamee–Jain (é uma forma explícita da Colebrook–White):
f approx 0,018
com ,m e .
Calculando, obtém-se

Passo 5

Calcular a perda de carga contínua pelo Darcy–Weisbach:
hf = f,LD,v^22g,
onde hf = 0,018times1000,075times(2,26)^22times9,81 approx 6,27;m ,m e ,m/s².

Passo 6

Aplicar o balanço de energia (Bernoulli modificado) entre a saída da bomba (nível 0 m) e o reservatório (pressão atmosférica, cota 10 m):
prm bomba + rho g,zrm bomba = prm res + rho g,zrm res + rho g,hf
Como é pressão manométrica e prm bomba = rho g,(10 + hf) , e tomando , m:

Resposta

Substituindo os valores:
prm bomba = 1000 times 9,81 times (10 + 6,27) approx 1,596times10^5;Pa

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