Em um duto de comprimento (L), escoa um fluido de viscosidade absoluta ( \mu ) e massa específica ( \rho ), demostre que a equação da velocidade do escoamento ( V ) é dada por:
V=k \mu \rho^{-1} L^{-1}

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, por análise dimensional, que a velocidade de escoamento V em um duto de comprimento L, para um fluido de viscosidade absoluta \mu e massa específica \rho, deve ter a forma
V = k\,\mu\,\rho^{-1}\,L^{-1},
onde k é uma constante adimensional. Vamos identificar as dimensões de cada grandeza e usar o método dos expoentes para encontrar essa relação.

Passo 2

Listamos as grandezas envolvidas e suas dimensões fundamentais ( M massa, L comprimento, T tempo):
\mu viscosidade absoluta \;\Rightarrow\;[\mu]=\displaystyle \frac{M}{L\,T} \rho massa específica \;\Rightarrow\;[\rho]=\displaystyle \frac{M}{L^{3}} L comprimento \;\Rightarrow\;[L]=L V velocidade \;\Rightarrow\;[V]=\displaystyle \frac{L}{T}

Passo 3

Assumimos que
V \propto \mu^{a}\,\rho^{b}\,L^{c},
ou seja
[V] = [\mu]^{a}\,[\rho]^{b}\,[L]^{c}.
Substituindo dimensões:
\frac{L}{T} = \Bigl(\frac{M}{L\,T}\Bigr)^{a} \Bigl(\frac{M}{L^{3}}\Bigr)^{b} (L)^{c} = M^{\,a+b}\, L^{-a-3b+c}\, T^{-a}.

Passo 4

Igualamos expoentes de cada dimensão:
1. Massa M!:
a + b = 0.
2. Comprimento L!:
-a - 3b + c = 1.
3. Tempo T!:
-a = -1\;\Rightarrow\;a = 1.
Substituindo a=1 em a+b=0 b=-1.
Então em -a -3b + c =1 temos -1 -3(-1) + c =1 \Rightarrow -1+3+c=1 \Rightarrow c=-1.

Passo 5

Os expoentes obtidos são a=1, b=-1 e c=-1. Logo, a relação dimensional fica
V = k\;\mu^{1}\;\rho^{-1}\;L^{-1} \;\equiv\; V = k\,\frac{\mu}{\rho\,L},
com k adimensional.

Resposta

V = k\,\mu\,\rho^{-1}\,L^{-1}.

Exercícios relacionados