Se
é base, prove que
é base, desde que
,
e
não sejam nulos.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que
é uma base de um espaço vetorial. Queremos provar que outro conjunto
também é uma base, desde que
,
e
sejam diferentes de zero. Para isso, vamos usar conceitos de bases, linearidade e independência linear.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No nosso caso,
já é uma base, então sabemos que os vetores
,
e
são linearmente independentes e que qualquer vetor no espaço pode ser escrito como combinação linear deles.
Passo 3
Para mostrar que
também é uma base, precisamos provar duas coisas:
- Os vetores em
são linearmente independentes. - Eles geram o mesmo espaço que
.
Passo 4
Vamos começar mostrando a independência linear. Suponha que uma combinação linear dos vetores em
seja igual ao vetor nulo:
Isso pode ser reescrito como:
Passo 5
Como
é uma base, sabemos que os vetores
,
e
são linearmente independentes. Isso significa que os coeficientes associados a eles devem ser zero:
Passo 6
Como
,
e
são diferentes de zero (conforme o enunciado), podemos dividir cada equação por esses valores:
Passo 7
Chegamos à conclusão de que a única solução para a combinação linear ser nula é que todos os coeficientes
,
e
sejam iguais a zero. Portanto, os vetores em
são linearmente independentes.
Passo 8
Agora, vamos ver se
gera o mesmo espaço que
. Qualquer vetor
no espaço pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores em
:
Passo 9
Podemos reescrever isso em termos dos vetores em
:
Isso mostra que qualquer vetor
pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores em
.
Passo 10
Então, concluímos que
gera todo o espaço vetorial e que seus vetores são linearmente independentes. Portanto,
é uma base do espaço.
Resposta
O conjunto
é uma base do espaço vetorial, desde que
,
e
sejam diferentes de zero.