Se E=e1, e2, e3 é base, prove que F=alpha e1, beta e2, gamma e3 é base, desde que alpha, beta e gamma não sejam nulos.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado nos diz que E=e1, e2, e3 é uma base de um espaço vetorial. Queremos provar que outro conjunto F=alpha e1, beta e2, gamma e3 também é uma base, desde que alpha, beta e gamma sejam diferentes de zero. Para isso, vamos usar conceitos de bases, linearidade e independência linear.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma base. Uma base de um espaço vetorial é um conjunto de vetores que são linearmente independentes e que geram todo o espaço. No nosso caso, E já é uma base, então sabemos que os vetores e1, e2 e e3 são linearmente independentes e que qualquer vetor no espaço pode ser escrito como combinação linear deles.

Passo 3

Para mostrar que F também é uma base, precisamos provar duas coisas:
  1. Os vetores em F são linearmente independentes.
  2. Eles geram o mesmo espaço que E.

Passo 4

Vamos começar mostrando a independência linear. Suponha que uma combinação linear dos vetores em F seja igual ao vetor nulo:
c1 (alpha e1) + c2 (beta e2) + c3 (gamma e3) = 0
Isso pode ser reescrito como:
alpha c1 e1 + beta c2 e2 + gamma c3 e3 = 0

Passo 5

Como E é uma base, sabemos que os vetores e1, e2 e e3 são linearmente independentes. Isso significa que os coeficientes associados a eles devem ser zero:
alpha c1 = 0 beta c2 = 0 gamma c3 = 0

Passo 6

Como alpha, beta e gamma são diferentes de zero (conforme o enunciado), podemos dividir cada equação por esses valores:
c1 = 0 c2 = 0 c3 = 0

Passo 7

Chegamos à conclusão de que a única solução para a combinação linear ser nula é que todos os coeficientes c1, c2 e c3 sejam iguais a zero. Portanto, os vetores em F são linearmente independentes.

Passo 8

Agora, vamos ver se F gera o mesmo espaço que E. Qualquer vetor v no espaço pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores em E:
v = a e1 + b e2 + c e3

Passo 9

Podemos reescrever isso em termos dos vetores em F:
v = (aalpha) (alpha e1) + (bbeta) (beta e2) + (cgamma) (gamma e3)
Isso mostra que qualquer vetor v pode ser expresso como uma combinação linear dos vetores em F.

Passo 10

Então, concluímos que F gera todo o espaço vetorial e que seus vetores são linearmente independentes. Portanto, F é uma base do espaço.

Resposta

O conjunto F=alpha e1, beta e2, gamma e3 é uma base do espaço vetorial, desde que alpha, beta e gamma sejam diferentes de zero.

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