Calcule o determinante das matrizes abaixo.
e) E=[llll1 & 2 & 1 & 1 2 & 1 & 4 & 3 3 & 0 & 0 & 2 4 & 3 & 2 & 5].

Passo 1

Beleza, vamos calcular o determinante da matriz que você me passou. A matéria envolvida aqui é determinantes de matrizes quadradas, e para resolver isso, vamos precisar entender como calcular determinantes de matrizes 4x4, geralmente usando a regra de Laplace ou expansão por cofatores.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever a matriz E = 1 & 2 & 1 & 1 2 & 1 & 4 & 3 3 & 0 & 0 & 2 4 & 3 & 2 & 5 :

Passo 3

Vamos escolher uma linha ou coluna para expandir o determinante. Geralmente, é melhor escolher a linha ou coluna com mais zeros para simplificar os cálculos. Olhando a matriz , a terceira coluna tem um zero, então vamos expandir pelo terceiro coluna.

Passo 4

A fórmula para o determinante usando a expansão de cofatores na terceira coluna é:
det(E) = a13C13 + a23C23 + a33C33 + a43C43
onde são os elementos da matriz e são os cofatores correspondentes.

Passo 5

Vamos calcular cada termo:
  • (isso simplifica nosso trabalho, já que esse termo será zero)

Passo 6

Agora, precisamos calcular os cofatores Cij = (-1)^i+j cdot Mij , e .
O cofator é dado por:
onde é o menor da matriz, obtido removendo a i-ésima linha e a j-ésima coluna.

Passo 7

Vamos calcular cada cofator:
  • Para M13 = 2 & 1 & 3 3 & 0 & 2 4 & 3 & 5 :
    • Removemos a 1ª linha e a 3ª coluna:
    det(M13) = 2(0 cdot 5 - 2 cdot 3) - 1(3 cdot 5 - 2 cdot 4) + 3(3 cdot 3 - 0 cdot 4) = 2(-6) - 1(15-8) + 3(9) = -12 -7 +27 = 8
    • Calculamos C13 = (-1)^1+3 cdot 8 = (-1)^4 cdot 8 = 1 cdot 8 = 8 :
    M23 = 1 & 2 & 1 3 & 0 & 2 4 & 3 & 5
    • Então:
    det(M23) = 1(0 cdot 5 - 2 cdot 3) - 2(3 cdot 5 - 2 cdot 4) + 1(3 cdot 3 - 0 cdot 4) = 1(-6) - 2(15-8) +1(9) = -6 -14 +9 = -11
  • Para C23 = (-1)^2+3 cdot (-11) = (-1)^5 cdot (-11) = -1 cdot (-11) = 11 :
    • Removemos a 2ª linha e a 3ª coluna:
    M43 = 1 & 2 & 1 2 & 1 & 3 3 & 0 & 2
    • Calculamos det(M43) = 1(1 cdot 2 - 3 cdot 0) - 2(2 cdot 2 - 3 cdot 3) +1(2 cdot 0 -1 cdot 3) =1(2) -2(4-9)+1(-3) =2 -2(-5) -3 =2 +10 -3 =9 :
    C43 = (-1)^4+3 cdot 9 = (-1)^7 cdot 9 = -1 cdot 9 = -9
    • Então:
  • Para :
    • Removemos a 4ª linha e a 3ª coluna:
    • Calculamos :
    • Então:

Passo 8

Agora, substituímos os valores na fórmula do determinante:
det(E) = 1 cdot 8 + 4 cdot 11 + 0 cdot (qualquer coisa) + 2 cdot (-9) = 8 + 44 + 0 -18 = 34

Resposta

O determinante da matriz é 34.

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