E11=(ll1 & 0 0 & 0) E12=(ll0 & 1 0 & 0) E21=(ll0 & 0 1 & 0) E22=(ll0 & 0 0 & 1)
Mostre que os vetores dados são linearmente independentes.
E_{11}=\left( ll1 & 0 0 & 0\right)

Passo 1

Resumindo o enunciado: temos as matrizes E11,E12,E21,E22 em M2times2 e queremos mostrar que elas são linearmente independentes. Para isso, vamos usar a definição de independência linear, que diz que a única combinação linear que produz a matriz zero é aquela em que todos os coeficientes são nulos.

Passo 2

Considere uma combinação linear genérica
alpha,E11+beta,E12+gamma,E21+de<a,E22
Substituindo cada Eij pelo seu formato, obtemos
alpha 1&00&0 +beta 0&10&0 +gamma 0&01&0 +de<a 0&00&1 =alpha&betagamma&de<a

Passo 3

Para que essa soma seja a matriz zero, cada entrada deve ser zero, ou seja,
alpha=0, beta=0, gamma=0, de<a=0
Essa condição mostra que a única combinação linear que gera a matriz zero é a trivial.

Resposta

Como somente a combinação trivial anula todas as entradas, as matrizes E11,E12,E21,E22 são linearmente independentes.

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