E18.12 Nos terminais de um quadripolo, a tensão v(t) e a corrente i(t) são dadas pelas seguintes expressões:
\begin{aligned} & v(t)=64+36 \cos \left(377 t+60^{\circ}\right)-24 \cos \left(754 t+102^{\circ}\right) \mathrm{V} \\\ & i(t)=1,8 \cos \left(377 t+45^{\circ}\right)+1,2 \cos \left(754 t+100^{\circ}\right) \mathrm{A} \end{aligned}
Determine a potência média absorvida pela rede.
Resp.: P_{\text {média }}=16,91 \mathrm{~W}é.

Passo 1

O enunciado dá as funções da tensão v(t) e da corrente i(t) nos terminais do quadripolo e pede a potência média absorvida pela rede. Informações do enunciado:
\begin{aligned} & v(t)=64+36\cos\bigl(377t+60^\circ\bigr)-24\cos\bigl(754t+102^\circ\bigr)\\ \mathrm{V},\\[4pt] & i(t)=1,8\cos\bigl(377t+45^\circ\bigr)+1,2\cos\bigl(754t+100^\circ\bigr)\\ \mathrm{A}. \end{aligned}
Pergunta a responder: determinar a potência média absorvida pela rede (valor numérico final).]

Passo 2

Idéia geral (o que vale como regra sem resolver ainda): a potência instantânea é p(t)=v(t)\,i(t) e a potência média é a média temporal de p(t). Quando v(t) e i(t) são compostas por somas de componentes DC e senoidais de diferentes frequências, aplica-se a regra:
  • O termo DC em v(t) multiplicado pelo termo DC em i(t) contribui para potência média (se houver corrente DC).
  • Produtos entre componentes de frequências diferentes têm média zero (porque a média de \cos(\omega_1 t+\alpha)\cos(\omega_2 t+\beta) é zero quando \omega_1\neq\omega_2).
  • Para cada frequência \omega em comum, a contribuição média é a potência real daquela componente senoidal, dada por P = V_{\mathrm{rms}} I_{\mathrm{rms}}\cos(\theta_v-\theta_i), onde \theta_v e \theta_i são as fases das componentes de tensão e corrente nessa frequência.

Passo 3

Identificar componentes por frequência e extrair amplitudes e fases (peaks e fases dadas no enunciado):
  • Componente DC de v(t): 64\\ \mathrm{V}.
  • Primeira harmónica ( \omega_1=377\\ \mathrm{rad/s}):
    • tensão: amplitude 36, fase 60^\circ → componente 36\cos(377t+60^\circ).
    • corrente: amplitude 1,8, fase 45^\circ → componente 1,8\cos(377t+45^\circ).
  • Segunda harmónica ( \omega_2=754\\ \mathrm{rad/s}):
    • tensão: amplitude -24, fase 102^\circ. Observação importante: um termo -24\cos(754t+102^\circ) pode ser visto como 24\cos(754t+102^\circ+180^\circ). Assim a amplitude positiva é 24 com fase 102^\circ+180^\circ=282^\circ.
    • corrente: amplitude 1,2, fase 100^\circ → componente 1,2\cos(754t+100^\circ).
Também notar que não há componente DC em i(t) (corrente DC é zero), então o produto 64\cdot i_{DC} não contribui.

Passo 4

Converter amplitudes de pico para valores RMS e escrever a fórmula da potência média por componente senoidal. Se a forma é A\cos(\omega t+\varphi), a tensão ou corrente eficaz (RMS) é A/\sqrt{2}. A potência média para uma frequência comum vale:
P = V_{\mathrm{rms}}\,I_{\mathrm{rms}}\,\cos(\theta_v-\theta_i).
Aplicar para cada uma das duas frequências presentes (377 e 754). Produtos entre frequências diferentes têm média zero e o termo DC×AC também tem média zero porque i_{DC}=0.

Passo 5

Calcular a contribuição da primeira frequência ( \omega_1=377\\ \mathrm{rad/s}):
V_{1,\mathrm{rms}}=\frac{36}{\sqrt{2}},\qquad I_{1,\mathrm{rms}}=\frac{1,8}{\sqrt{2}}.
O fator \cos usa a diferença de fases \theta_{v1}-\theta_{i1}=60^\circ-45^\circ=15^\circ. Logo
\begin{aligned} P_1 &= V_{1,\mathrm{rms}}I_{1,\mathrm{rms}}\cos(15^\circ) = \frac{36\cdot 1,8}{2}\cos(15^\circ)\\[4pt] &=32{,}4\cos(15^\circ). \end{aligned}
Agora usar \cos(15^\circ)\approx0{,}965925826:
P_1\approx 32{,}4\times 0{,}965925826 \approx 31{,}3183\\ \mathrm{W}.]

Passo 6

Calcular a contribuição da segunda frequência ( \omega_2=754\\ \mathrm{rad/s}). Tomamos a amplitude positiva 24 e fase 282^\circ para a tensão (conforme observação no Passo 3), e corrente com amplitude 1,2 e fase 100^\circ. Então
V_{2,\mathrm{rms}}=\frac{24}{\sqrt{2}},\qquad I_{2,\mathrm{rms}}=\frac{1,2}{\sqrt{2}}.
Diferença de fases \theta_{v2}-\theta_{i2}=282^\circ-100^\circ=182^\circ. Assim
\begin{aligned} P_2 &= V_{2,\mathrm{rms}}I_{2,\mathrm{rms}}\cos(182^\circ) = \frac{24\cdot 1,2}{2}\cos(182^\circ)\\[4pt] &=14{,}4\cos(182^\circ). \end{aligned}
Usar \cos(182^\circ)=\cos(180^\circ+2^\circ)=-\cos(2^\circ) e \cos(2^\circ)\approx0{,}999390827, portanto \cos(182^\circ)\approx-0{,}999390827. Logo
P_2\approx 14{,}4\times(-0{,}999390827)\approx -14{,}3915\\ \mathrm{W}.]

Passo 7

Somar as contribuições das duas harmónicas (o DC não contribui porque i_{DC}=0; produtos cruzados de frequências diferentes têm média zero):
P_{\mathrm{média}}=P_1+P_2\approx 31{,}3183 + (-14{,}3915)\approx 16{,}9268\\ \mathrm{W}.é
Arredondando para duas casas decimais:
P_{\mathrm{média}}\approx 16{,}93\\ \mathrm{W}.é

Resposta

P_{\text{média}}=16{,}93\\ \mathrm{W}é

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