Calcular o diâmetro da área da seção transversal de um prisma de base circular de Silício intrínseco com 5mm de comprimento de modo que sua resistência elétrica seja de
à temperatura ambiente.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
- Dado: comprimento do prisma (barra cilíndrica)
. - Dado: resistência elétrica desejada
. - Dado implícito: material é silício intrínseco à temperatura ambiente (assumir
). - Pedido: calcular o diâmetro
da área da seção transversal circular de modo que a resistência ao longo do comprimento seja .
Observações úteis que vou usar (explicarei em detalhes nos próximos passos):
- A resistência de um condutor homogêneo e de seção constante é dada por
, onde é a resistividade do material e a área da seção transversal. - Para silício intrínseco em
pode-se obter a resistividade a partir da condutividade com concentração intrínseca de portadores e mobilidades. A inversa desta condutividade dá a resistividade . Vou mostrar esses valores e cálculos a seguir.
Passo 2
Explicando a fórmula básica que vamos usar e o que cada símbolo significa.
- Fórmula da resistência de um comprimento de material homogêneo:
Aqui:
-
é a resistência elétrica (em ), -
é a resistividade elétrica do material (em ), -
é o comprimento pelo qual a corrente percorre (em ), -
é a área da seção transversal (em ).
Como a seção é circular, a área vale
onde
é o raio e
é o diâmetro. Portanto podemos escrever, combinando as duas expressões:
Dessa expressão isolamos
:
Explicação: essa fórmula vem só de substituir
por
e isolar
. Tudo o que falta é conhecer
, converter unidades e calcular.
Passo 3
Determinar a resistividade
do silício intrínseco a
. Vou usar um cálculo físico padrão a partir da condutividade.
- A condutividade elétrica de um semicondutor intrínseco vale
onde:
-
é a carga do elétron, -
é a concentração intrínseca de portadores (em ), -
são as mobilidades dos elétrons e lacunas (em ).
Valores típicos à temperatura ambiente (
) usados na literatura:
-
, -
, -
.
Vou calcular
(em
) e depois a resistividade
(em
), finalmente converter para
.
Cálculo:
Portanto
Converter para
(lembre que
):
Observação amigável: esses valores de
e de mobilidade são os típicos à temperatura ambiente; usando-os obtemos a resistividade do silício intrínseco. Se um professor der outro valor para
, aplicar o mesmo procedimento com esse valor.
Passo 4
Agora usamos a fórmula isolada para o diâmetro:
Antes de calcular, colocamos todos os valores nas mesmas unidades SI:
-
, -
, -
.
Substituindo:
Calculemos passo a passo:
(Detalhe: multiplicações foram reorganizadas para facilitar sem calculadora:
.)
Agora a raiz quadrada:
Converter para milímetros:
Passo 5
Interpretação e arredondamento final — me incentivando um pouco: ficou lindo! A conta indica que, para obter
ao longo de
de silício intrínseco, a barra precisa ser relativamente grossa — diâmetro da ordem de poucos milímetros — porque o silício intrínseco é muito resistivo.
Arredondando para duas casas decimais para resposta prática: