Calcular o diâmetro da área da seção transversal de um prisma de base circular de Silício intrínseco com 5mm de comprimento de modo que sua resistência elétrica seja de \mathbf{3 0 0 k} \boldsymbol{\Omega} à temperatura ambiente.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dado: comprimento do prisma (barra cilíndrica) L = 5\\ \text{mm}.
  • Dado: resistência elétrica desejada R = 300\\ \text{k}\Omega.
  • Dado implícito: material é silício intrínseco à temperatura ambiente (assumir T\approx 300\\ \text{K}).
  • Pedido: calcular o diâmetro d da área da seção transversal circular de modo que a resistência ao longo do comprimento L seja R.
Observações úteis que vou usar (explicarei em detalhes nos próximos passos):
  • A resistência de um condutor homogêneo e de seção constante é dada por \;R=\dfrac{\rho L}{A}\;, onde \rho é a resistividade do material e A a área da seção transversal.
  • Para silício intrínseco em T\approx 300\\ \text{K} pode-se obter a resistividade a partir da condutividade \sigma = q\,n_i(\mu_n+\mu_p) com n_i concentração intrínseca de portadores e \mu_n,\mu_p mobilidades. A inversa desta condutividade dá a resistividade \rho=1/\sigma. Vou mostrar esses valores e cálculos a seguir.

Passo 2

Explicando a fórmula básica que vamos usar e o que cada símbolo significa.
  • Fórmula da resistência de um comprimento de material homogêneo:
R=\dfrac{\rho\,L}{A}.
Aqui:
  • \;R\; é a resistência elétrica (em \Omega),
  • \;\rho\; é a resistividade elétrica do material (em \Omega\cdot\text{m}),
  • \;L\; é o comprimento pelo qual a corrente percorre (em \text{m}),
  • \;A\; é a área da seção transversal (em \text{m}^2).
Como a seção é circular, a área vale
A=\pi r^2=\dfrac{\pi d^2}{4},
onde \;r\; é o raio e \;d\; é o diâmetro. Portanto podemos escrever, combinando as duas expressões:
R=\dfrac{\rho L}{\dfrac{\pi d^2}{4}}=\dfrac{4\rho L}{\pi d^2}.
Dessa expressão isolamos d:
d = \sqrt{\dfrac{4\rho L}{\pi R}}.
Explicação: essa fórmula vem só de substituir A por \pi d^2/4 e isolar d. Tudo o que falta é conhecer \rho, converter unidades e calcular.

Passo 3

Determinar a resistividade \rho do silício intrínseco a 300\\ \text{K}. Vou usar um cálculo físico padrão a partir da condutividade.
  • A condutividade elétrica de um semicondutor intrínseco vale
\sigma = q\,n_i\left(\mu_n+\mu_p\right),
onde:
  • \;q=1,602176634\times10^{-19}\\ \text{C} é a carga do elétron,
  • \;n_i\; é a concentração intrínseca de portadores (em \text{cm}^{-3}),
  • \;\mu_n,\mu_p\; são as mobilidades dos elétrons e lacunas (em \text{cm}^2/\text{V}\cdot\text{s}).
Valores típicos à temperatura ambiente ( 300\\ \text{K}) usados na literatura:
  • \;n_i \approx 1{,}45\times10^{10}\\ \text{cm}^{-3},
  • \;\mu_n \approx 1350\\ \text{cm}^2/\text{V}\cdot\text{s},
  • \;\mu_p \approx 480\\ \text{cm}^2/\text{V}\cdot\text{s}.
Vou calcular \sigma (em \text{S/cm}) e depois a resistividade \rho=1/\sigma (em \Omega\cdot\text{cm}), finalmente converter para \Omega\cdot\text{m}.
Cálculo:
\mu_n+\mu_p = 1350 + 480 = 1830\\ \text{cm}^2/\text{V}\cdot\text{s}.
\sigma = (1{,}602176634\times10^{-19})\cdot(1{,}45\times10^{10})\cdot 1830 \approx 4{,}25137479\times10^{-6}\\ \text{S/cm}.
Portanto
\rho = \dfrac{1}{\sigma} \approx \dfrac{1}{4{,}25137479\times10^{-6}}\approx 2{,}35223\times10^{5}\\ \Omega\cdot\text{cm}.
Converter para \Omega\cdot\text{m} (lembre que 1\\ \Omega\cdot\text{cm}=0,01\\ \Omega\cdot\text{m}):
\rho \approx 2{,}35223\times10^{5}\times0{,}01 = 2{,}35223\times10^{3}\\ \Omega\cdot\text{m}\approx 2352{,}2\\ \Omega\cdot\text{m}.
Observação amigável: esses valores de n_i e de mobilidade são os típicos à temperatura ambiente; usando-os obtemos a resistividade do silício intrínseco. Se um professor der outro valor para \rho, aplicar o mesmo procedimento com esse valor.

Passo 4

Agora usamos a fórmula isolada para o diâmetro:
d = \sqrt{\dfrac{4\rho L}{\pi R}}.
Antes de calcular, colocamos todos os valores nas mesmas unidades SI:
  • \;L = 5\\ \text{mm} = 5\times10^{-3}\\ \text{m},
  • \;R = 300\\ \text{k}\Omega = 300\times10^{3}\\ \Omega = 3{,}00\times10^{5}\\ \Omega,
  • \;\rho \approx 2{,}35223\times10^{3}\\ \Omega\cdot\text{m}.
Substituindo:
d = \sqrt{\dfrac{4\cdot(2{,}35223\times10^{3})\cdot(5\times10^{-3})}{\pi\cdot(3{,}00\times10^{5})}}.
Calculemos passo a passo:
\text{numerador} = 4\cdot2{,}35223\times10^{3}\cdot5\times10^{-3} =4\cdot2{,}35223\cdot5\times10^{0} =4\cdot11{,}76115 =47{,}0446.
(Detalhe: multiplicações foram reorganizadas para facilitar sem calculadora: 2{,}35223\times10^{3}\cdot5\times10^{-3}=2{,}35223\cdot5.)
\text{denominador}=\pi\cdot3{,}00\times10^{5}\approx 3{,}14159265\cdot3{,}00\times10^{5}\approx 9{,}42477796\times10^{5}.
\dfrac{\text{numerador}}{\text{denominador}} \approx \dfrac{47{,}0446}{9{,}42477796\times10^{5}} \approx 4{,} (em notação decimal) \;3{,}9203953\times10^{-5}\\ \text{(m}^2\text{)}.çã
Agora a raiz quadrada:
d \approx \sqrt{3{,}9203953\times10^{-5}}\\ \text{m} \approx 7{,}0658\times10^{-3}\\ \text{m}.
Converter para milímetros:
d \approx 7{,}0658\\ \text{mm}.

Passo 5

Interpretação e arredondamento final — me incentivando um pouco: ficou lindo! A conta indica que, para obter 300\\ \text{k}\Omega ao longo de 5\\ \text{mm} de silício intrínseco, a barra precisa ser relativamente grossa — diâmetro da ordem de poucos milímetros — porque o silício intrínseco é muito resistivo.
Arredondando para duas casas decimais para resposta prática:
d \approx 7{,}07\\ \text{mm}.

Resposta

d \approx 7{,}07\\ \text{mm} \quad(=7{,}07\times10^{-3}\\ \text{m})

Exercícios relacionados