In each case, show that f(x) is an eigenfunction of the operator given. Find the eigenvalue.
d^2d x^2+2 dd x+3 e^a x

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que a função f(x)=e^ax é uma autofunção (eigenfunction) do operador linear
L = d^2d x^2 + 2,dd x + 3
e encontrar o respectivo autovalor (eigenvalue) lambda. Vamos usar as regras de derivação de exponenciais e a definição
L f = lambda,f

Passo 2

Calcular as derivadas de f(x)=e^ax.
A primeira derivada é
ddxe^ax = a,e^ax,
e a segunda derivada é
d^2dx^2e^ax = a^2,e^ax

Passo 3

Aplicar o operador L em e^ax:
L,e^ax = d^2dx^2e^ax ;+; 2,ddxe^ax ;+; 3,e^ax = a^2e^ax + 2,a,e^ax + 3,e^ax
Agrupando fatores, obtemos
L,e^ax = l(a^2 + 2a + 3r),e^ax
Logo, e^ax é autofunção de L.

Resposta

O autovalor correspondente é
lambda = a^2 + 2a + 3

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