In each case, show that f(x) is an eigenfunction of the operator given. Find the eigenvalue.
partialpartial y x^2 e^6 y

Passo 1

O enunciado define o operador linear
Lf = partial fpartial y
e a função
f(x,y)=x^2e^6y
Queremos mostrar que existe lambda tal que
Lf = lambda,f,
isto é, f é autofunção de L e lambda é o autovalor correspondente.

Passo 2

Aplicamos o operador ao f:
Lf = partialpartial yl(x^2e^6yr) = x^2,ddyl(e^6yr)

Passo 3

Como ddy(e^6y)=6e^6y, segue
Lf = x^2cdot 6e^6y =6l(x^2e^6yr) =6f(x,y)

Resposta

A função f(x,y)=x^2e^6y é autofunção do operador partialpartial y com autovalor lambda=6.

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