Each of Exercises 59-62 gives a function
f(x, y)
and a positive number
\epsilon
. In each exercise, show that there exists a
\delta>0
such that for all
(x, y)
,
\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta \Rightarrow|f(x, y)-f(0,0)|<\epsilon
f(x, y)=y /\left(x^{2}+1\right), \quad \boldsymbol{\epsilon}=0.05

Passo 1

O enunciado pede mostrar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}\frac{y}{x^{2}+1}=f(0,0)=0
no sentido de definição \epsilon- \delta, isto é, dado \epsilon=0.05, encontrar \delta>0 tal que
\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta\quad\Longrightarrow\quad\bigl|f(x,y)-f(0,0)\bigr|<0.05.

Passo 2

Primeiro notamos que
f(0,0)=\frac{0}{0^{2}+1}=0,
então queremos garantir
\bigl|\tfrac{y}{x^{2}+1}-0\bigr|<0.05.

Passo 3

Para todo (x,y), como x^{2}+1\ge1, temos
\Bigl|\frac{y}{x^{2}+1}\Bigr|\le|y|.

Passo 4

Se \sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta, então |y|\le\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta. Logo, basta escolher
\delta=0.05,
pois daí
\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta\quad\Longrightarrow\quad|y|<0.05\quad\Longrightarrow\quad\Bigl|\frac{y}{x^{2}+1}\Bigr|<0.05.

Resposta

Pode-se tomar \delta=0.05.

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