Each of Exercises 59-62 gives a function
and a positive number
. In each exercise, show that there exists a
such that for all
,
and a positive number
. In each exercise, show that there exists a
such that for all
,
Passo 1
O enunciado define
e pede para mostrar que
Isso é um limite de função de duas variáveis em
. Vamos estimar
por meio de desigualdades.
Passo 2
Primeiro calculemos
Logo
Passo 3
Como para todo
vale
, temos
Assim
Passo 4
Pela desigualdade triangular e pela relação entre norma Euclidiana e soma de módulos,
Portanto, se
então
Passo 5
Para garantir
basta escolher
Com isso, sempre que
teremos
Resposta
Podemos tomar
.