Seja f(x, y)=\left(x^{2}+y^{2}\right)^{\frac{2}{3}}. Mostre que f é de classe \mathcal{C}^{1} em \mathbb{R}^{2}.

Passo 1

O enunciado define a função
f(x,y) = (x^2 + y^2)^{\frac{2}{3}}
em \mathbb{R}^2 e pede para mostrar que f é de classe \mathcal{C}^1 em todo \mathbb{R}^2.
Para isso precisamos
  1. calcular as derivadas parciais \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y} em (x,y)\neq(0,0) usando a regra de cadeia;
  2. definir as derivadas no ponto (0,0) e verificar que f é diferenciável em (0,0);
  3. verificar que as derivadas parciais são contínuas em todo \mathbb{R}^2.

Passo 2

Em (x,y)\neq(0,0) aplicamos a regra de cadeia a
f(x,y) = g\bigl(h(x,y)\bigr) \quad\text{com}\quad h(x,y)=x^2+y^2, \quad g(t)=t^{\frac{2}{3}}.
Temos g'(t)=\tfrac{2}{3}t^{-1/3} e \nabla h(x,y)=(2x,2y). Logo
\frac{\partial f}{\partial x} = g'\bigl(h(x,y)\bigr)\,\frac{\partial h}{\partial x} = \frac{2}{3}\,(x^2+y^2)^{-\frac{1}{3}}\cdot 2x = \frac{4x}{3\,(x^2+y^2)^{\tfrac{1}{3}}},
\frac{\partial f}{\partial y} = \frac{4y}{3\,(x^2+y^2)^{\tfrac{1}{3}}}.

Passo 3

No ponto (0,0) definimos
\frac{\partial f}{\partial x}(0,0) =0, \qquad \frac{\partial f}{\partial y}(0,0) =0.
Para verificar que f é diferenciável em (0,0) e que o diferencial é nulo, basta checar
\lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{f(h,k)-f(0,0)-0\cdot h-0\cdot k}{\sqrt{h^2+k^2}} = \lim_{(h,k)\to(0,0)} \frac{(h^2+k^2)^{\tfrac{2}{3}}}{\sqrt{h^2+k^2}} = \lim_{r\to0}r^{\tfrac{4}{3}-1} = \lim_{r\to0}r^{\tfrac{1}{3}} =0.
Isso mostra que f é diferenciável em (0,0) e que \nabla f(0,0)=(0,0).

Passo 4

Falta checar a continuidade de \frac{\partial f}{\partial x} e \frac{\partial f}{\partial y} em (0,0). Para (x,y)\neq(0,0) já são contínuas, pois são quocientes de funções contínuas com denominação não nula. No limite em (0,0) temos, por exemplo,
\Bigl|\tfrac{\partial f}{\partial x}(x,y)-0\Bigr| = \frac{4\,|x|}{3\,(x^2+y^2)^{\tfrac{1}{3}}} \le \frac{4}{3}\,\frac{\sqrt{x^2+y^2}}{(x^2+y^2)^{\tfrac{1}{3}}} = \frac{4}{3}\,(x^2+y^2)^{\tfrac{1}{6}} \to 0 \quad\text{quando }(x,y)\to(0,0),
e analogamente para \frac{\partial f}{\partial y}. Logo ambas as derivadas parciais são contínuas em todo \mathbb{R}^2.

Resposta

Portanto f é de classe \mathcal{C}^1 em \mathbb{R}^2.

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