Each of Exercises 59-62 gives a function
f(x, y)
and a positive number
\epsilon
. In each exercise, show that there exists a
\delta>0
such that for all
(x, y)
,
\sqrt{x^{2}+y^{2}}<\delta \Rightarrow|f(x, y)-f(0,0)|<\epsilon
f(x, y)=(x+y) /(2+\cos x), \quad \boldsymbol{\epsilon}=0.02

Passo 1

O enunciado pede provar que
\lim_{(x,y)\to(0,0)}f(x,y)=f(0,0)
para
f(x,y)=\frac{x+y}{2+\cos x}, \qquad \epsilon=0{,}02.
Ou seja, mostrar que existe \delta>0 tal que
\sqrt{x^2+y^2}<\delta \;\Longrightarrow\; \bigl|f(x,y)-f(0,0)\bigr|<\epsilon.

Passo 2

Primeiro calculamos
f(0,0)=\frac{0+0}{2+\cos0}=\frac{0}{2+1}=0.
Logo queremos garantir
\bigl|f(x,y)-0\bigr|=\bigl|f(x,y)\bigr|<\epsilon.

Passo 3

Escrevemos
\bigl|f(x,y)\bigr| =\left|\frac{x+y}{2+\cos x}\right| =\frac{|x+y|}{2+\cos x}.

Passo 4

Observamos que para todo x vale
-1\le\cos x\le1 \quad\Longrightarrow\quad 2+\cos x\ge1,
logo
\frac{1}{2+\cos x}\le1 \quad\Longrightarrow\quad \bigl|f(x,y)\bigr|\le|x+y|.

Passo 5

Pela desigualdade triangular e relação com a norma euclidiana,
|x+y|\le|x|+|y|\le\sqrt2\sqrt{x^2+y^2}.
Portanto, se \sqrt{x^2+y^2}<\delta então
\bigl|f(x,y)\bigr|\le\sqrt2\,\delta.

Passo 6

Para que \sqrt2\,\delta<\epsilon basta escolher
\delta=\frac{\epsilon}{\sqrt2}.
Como \epsilon=0{,}02, temos \delta=0{,}02/\sqrt2.

Resposta

Basta tomar
\delta=\frac{0{,}02}{\sqrt2},
pois então \sqrt{x^2+y^2}<\delta implica \bigl|f(x,y)-f(0,0)\bigr|<\epsilon.

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