In each of Problems 29 through 32, use the result of Problem 28 to find the Laplace transform of the given function.
f(t)= \begin{cases}1, & 0 \leq t<1, \\\\ 0, & 1 \leq t<2 ;\end{cases}
f(t+2)=f(t) .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • A função f\) é periódica de período \(2\): \(f(t+2)=f(t)\) para todo \(t\). - No intervalo de um período ela vale \[f(t)=\begin{cases} 1,&0\le t<1,\\[4pt] 0,&1\le t<2. \end{cases}
  • O que o enunciado pede: encontrar a transformada de Laplace (\mathcal{L}{f}(s)] usando o resultado do Problema 28.]

Passo 2

Vou lembrar (e explicar rapidamente) o resultado do Problema 28: para uma função periódica f de período T cuja transformada exista, vale
\mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{1}{1-e^{-sT}}\int_{0}^{T}e^{-st}f(t)\,dt.
Breve justificativa (intuição): ao calcular \int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt pode-se separar a integral em somas sobre intervalos [nT,(n+1)T), fazer a mudança de variável t\mapsto t+nT em cada parcela e obter uma série geométrica em fator e^{-sT}. Essa soma converge para 1/(1-e^{-sT}) quando \Re(s)>0, dando a fórmula acima.

Passo 3

Aplicando a fórmula com T=2 temos
\mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{1}{1-e^{-2s}}\int_{0}^{2}e^{-st}f(t)\,dt.
Agora calculo a integral no numerador. Como peguei f da definição no passo 1, vejo que f(t)=1 em [0,1) e f(t)=0 em [1,2). Assim
\int_{0}^{2}e^{-st}f(t)\,dt=\int_{0}^{1}e^{-st}\,dt.

Passo 4

Calculo a integral \int_{0}^{1}e^{-st}\,dt. Usando a primitiva de e^{-st},
\int_{0}^{1}e^{-st}\,dt=\left[-\frac{1}{s}e^{-st}\right]_{0}^{1}=\frac{1-e^{-s}}{s}.
Portanto
\mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{1}{1-e^{-2s}}\cdot\frac{1-e^{-s}}{s}.

Passo 5

Simplifico a expressão algébrica. Note que
1-e^{-2s}=(1-e^{-s})(1+e^{-s}).
Cancelando o fator 1-e^{-s} (válido para s na região de convergência, em particular para \Re(s)>0) obtemos a forma simplificada
\mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{1}{s(1+e^{-s})}.
Observação alternativa: multiplicando numerador e denominador por e^{s} chega-se à forma equivalente
\mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{e^{s}}{s(e^{s}+1)}.

Resposta

\mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{1}{s\bigl(1+e^{-s}\bigr)}\quad(\Re(s)>0)

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