Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
A função f\) é periódica de período \(2\): \(f(t+2)=f(t)\) para todo \(t\).
- No intervalo de um período ela vale
\[f(t)=\begin{cases} 1,&0\le t<1,\\[4pt] 0,&1\le t<2. \end{cases}
O que o enunciado pede: encontrar a transformada de Laplace (\mathcal{L}{f}(s)] usando o resultado do Problema 28.]
Passo 2
Vou lembrar (e explicar rapidamente) o resultado do Problema 28: para uma função periódica f de período T cuja transformada exista, vale
Breve justificativa (intuição): ao calcular \int_{0}^{\infty}e^{-st}f(t)\,dt pode-se separar a integral em somas sobre intervalos [nT,(n+1)T), fazer a mudança de variável t\mapsto t+nT em cada parcela e obter uma série geométrica em fator e^{-sT}. Essa soma converge para 1/(1-e^{-sT}) quando \Re(s)>0, dando a fórmula acima.