Uma editora publica seu dicionário da língua portuguesa em uma edição de capa dura e uma edição em brochura. A demanda da versão em capa dura é de x exemplares ao dia e a demanda da versão em brochura é de y exemplares ao dia, quando os preços unitários são
\begin{aligned} & p(x, y)=20-0,005 x-0,001 y \\\ & q(x, y)=15-0,001 x-0,003 y \end{aligned}
reais, respectivamente. Seja R a função receita total diária.
(a) Determine R(x, y).
(a) Determine o conjunto \operatorname{Dom}(R).
(c) Dê o conjunto de todos os pares de ( x, y ) de números de exemplares do dicionário de cada tipo de edição para os quais a receita diária total é \mathrm{R} \ 25.000$, 00 . Em seguida, esboce o conjunto no Maple e copie comandos completos. Não precisa copiar a figura.

Passo 1

O enunciado dá duas demandas diárias: x exemplares da edição de capa dura e y exemplares da edição em brochura. Os preços unitários (em reais) são
p(x,y)=20-0,005x-0,001y
para a capa dura e
q(x,y)=15-0,001x-0,003y
para a brochura. Define-se R como a receita total diária.
O que se pede:
  • (a) determinar a função R(x,y) (receita total em função de x e y);
  • (b) determinar o conjunto \operatorname{Dom}(R) (todos os pares (x,y) admissíveis);
  • (c) encontrar o conjunto de todos os pares (x,y) tais que R(x,y)= R$ 25.000{,}00 e, em seguida, esboçar esse conjunto no Maple, copiando os comandos completos.

Passo 2

O que é receita total? Receita é (preço unitário) × (quantidade vendida). Como temos duas versões, a receita total é a soma das receitas das duas versões:
R(x,y)=\text{receita da capa dura}+\text{receita da brochura}.
A receita da capa dura é p(x,y)\cdot x e da brochura é q(x,y)\cdot y. Então escrevemos:
R(x,y)=x\cdot p(x,y)+y\cdot q(x,y).
Agora substituímos p(x,y) e q(x,y):
R(x,y)=x\bigl(20-0,005x-0,001y\bigr)+y\bigl(15-0,001x-0,003y\bigr).
Vamos desenvolver os produtos passo a passo (distribuindo cada termo):
Para o primeiro produto:
x\bigl(20-0,005x-0,001y\bigr)=20x-0,005x^2-0,001xy.
Para o segundo produto:
y\bigl(15-0,001x-0,003y\bigr)=15y-0,001xy-0,003y^2.
Somando as duas parcelas, juntamos os termos semelhantes (observe que -0,001xy-0,001xy=-0,002xy):
R(x,y)=20x+15y-0,005x^2-0,002xy-0,003y^2.

Passo 3

Agora vamos pensar no domínio \operatorname{Dom}(R). O problema físico impõe algumas condições naturais:
  • x e y representam quantidades de exemplares por dia, portanto devem ser não negativas: x\ge0 e y\ge0.
  • Além disso, se o preço unitário de alguma edição ficasse negativo, isso não faria sentido prático; então precisamos de p(x,y)\ge0 e q(x,y)\ge0.
Escrevendo essas desigualdades:
p(x,y)=20-0,005x-0,001y\ge0,
q(x,y)=15-0,001x-0,003y\ge0.
Vamos manipular cada uma para formas lineares sem casas decimais. Multiplicando a primeira por 1000 (para eliminar decimais):
1000\bigl(20-0,005x-0,001y\bigr)\ge0 \quad\Rightarrow\quad 20000-5x-y\ge0,
ou seja
5x+y\le20000.
Multiplicando a segunda por 1000:
1000\bigl(15-0,001x-0,003y\bigr)\ge0 \quad\Rightarrow\quad 15000-x-3y\ge0,
ou seja
x+3y\le15000.
Juntando tudo, o domínio é o conjunto de pares (x,y) que satisfazem
x\ge0,\qquad y\ge0,\qquad 5x+y\le20000,\qquad x+3y\le15000.

Passo 4

Vamos entender geometricamente esse domínio (é importante para a parte (c)). As fronteiras são as retas:
y=20000-5x\quad\text{(limite de }p\ge0\text{)}
e
y=\frac{15000-x}{3}\quad\text{(limite de }q\ge0\text{)},
além dos eixos [x=0) e y=0. É um polígono convexo limitado. Para determinar os vértices, encontramos as interseções relevantes:
Interseção com o eixo y=0: impondo y=0 em 5x+y\le20000 x\le4000. Então (4000,0) é um ponto da fronteira.
Interseção com o eixo x=0: impondo x=0 em x+3y\le15000 y\le5000. Então (0,5000) é ponto da fronteira.
Interseção entre as duas retas 5x+y=20000 e x+3y=15000: resolvemos o sistema
\begin{cases} 5x+y=20000,\\[4pt] x+3y=15000. \end{cases}
Resolvendo (eliminação):
  • Da primeira, y=20000-5x\]. - Substituindo na segunda: \[x+3(20000-5x)=15000 \Rightarrow x+60000-15x=15000 \Rightarrow -14x=-45000.\] Logo \[x=\frac{45000}{14}=\frac{22500}{7}\approx3214{,}2857.\] E \[y=20000-5x=20000-5\cdot\frac{22500}{7}=\frac{27500}{7}\approx3928{,}5714.\] Portanto o polígono tem vértices (em ordem): \((0,0), (4000,0), \bigl(\tfrac{22500}{7},\tfrac{27500}{7}\bigr), (0,5000).]

Passo 5

Agora queremos o conjunto de todos os pares (x,y) tais que a receita total é R$ 25.000{,}00, isto é,
R(x,y)=25000.
Substituindo a expressão de R(x,y) que obtivemos:
20x+15y-0,005x^2-0,002xy-0,003y^2=25000.
Colocando tudo num só lado:
-0,005x^2-0,002xy-0,003y^2+20x+15y-25000=0.
Para ficar sem decimais, multiplicamos a equação por -1000 (ou por 1000 e depois por -1); faço a multiplicação por 1000 e troco o sinal:
5x^2+2xy+3y^2-20000x-15000y+25000000=0.
Essa é uma equação quadrática geral em x,y. Para identificar o tipo da curva, olhamos para os coeficientes do termo quadrático: A=5, B=2 (coeficiente de xy), C=3. O discriminante do termo quadrático é
\Delta=B^2-4AC=2^2-4\cdot5\cdot3=4-60=-56<0,
portanto trata-se de uma elipse (ou possivelmente vazia, mas nesse caso haverá interseção com o domínio — convém verificar graficamente). Assim o conjunto pedido é a interseção da elipse dada acima com o domínio determinado no Passo 3.

Passo 6

Para esboçar no Maple, é prático restringir a janela de desenho ao retângulo que contém todo o domínio: 0\le x\le4000, 0\le y\le5000. Um comando Maple que desenha a curva implícita 5x^2+2xy+3y^2-20000x-15000y+25000000=0 nessa janela é, por exemplo:
with(plots):
implicitplot(5x2+2*x*y+3*y2-20000x-15000*y+25000000=0, x=0…4000, y=0…5000, grid=[200,200], axes=boxed, color=red);
Esse comando desenha a elipse (parte dela que cair na janela). Se você quiser desenhar também o polígono do domínio para visualizar a interseção, pode sobrepor (usando display) a região do polígono com a curva; comandos completos básicos são:
with(plots):
E:=implicitplot(5x2+2*x*y+3*y2-20000x-15000*y+25000000=0, x=0…4000, y=0…5000, grid=[200,200], color=red):
D:=plot([[0,0],[4000,0],[22500/7,27500/7],[0,5000],[0,0]], style=patchnopoint, color=lightgray):
display([D,E]);
Copie e cole esses comandos no Maple e execute para ver o esboço. (Não é necessário copiar aqui a figura.)

Resposta

(a) R(x,y)=20x+15y-0,005x^2-0,002xy-0,003y^2.
(b) \operatorname{Dom}(R)=\{(x,y)\in\mathbb{R}^2\mid x\ge0,\;y\ge0,\;5x+y\le20000,\;x+3y\le15000\}.
(c) O conjunto dos pares com receita diária R$ 25.000{,}00 é
\left\{(x,y)\in\mathbb{R}^2 \mid 5x^2+2xy+3y^2-20000x-15000y+25000000=0,\\ x\ge0,\\ y\ge0,\\\ 5x+y\le20000,\\ x+3y\le15000\right\}.
Comandos Maple sugeridos para esboçar (copie e cole no Maple):
with(plots):
implicitplot(5x2+2*x*y+3*y2-20000x-15000y+25000000=0, x=0…4000, y=0…5000, grid=[200,200], axes=boxed, color=red);
with(plots):
E:=implicitplot(5
x2+2*x*y+3*y2-20000x-15000y+25000000=0, x=0…4000, y=0…5000, grid=[200,200], color=red):
D:=plot([[0,0],[4000,0],[22500/7,27500/7],[0,5000],[0,0]], style=patchnopoint, color=lightgray):
display([D,E]);

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