Uma editora publica seu dicionário da língua portuguesa em uma edição de capa dura e uma edição em brochura. A demanda da versão em capa dura é de
exemplares ao dia e a demanda da versão em brochura é de
exemplares ao dia, quando os preços unitários são
reais, respectivamente. Seja
a função receita total diária.
(a) Determine
.
(a) Determine o conjunto
.
(c) Dê o conjunto de todos os pares de (
) de números de exemplares do dicionário de cada tipo de edição para os quais a receita diária total é
25.000$, 00 . Em seguida, esboce o conjunto no Maple e copie comandos completos. Não precisa copiar a figura.
(a) Determine
(a) Determine o conjunto
(c) Dê o conjunto de todos os pares de (
Passo 1
O enunciado dá duas demandas diárias:
exemplares da edição de capa dura e
exemplares da edição em brochura. Os preços unitários (em reais) são
para a capa dura e
para a brochura. Define-se
como a receita total diária.
O que se pede:
O que se pede:
- (a) determinar a função
(receita total em função de e ); - (b) determinar o conjunto
(todos os pares admissíveis); - (c) encontrar o conjunto de todos os pares
tais que R$ e, em seguida, esboçar esse conjunto no Maple, copiando os comandos completos.
Passo 2
O que é receita total? Receita é (preço unitário) × (quantidade vendida). Como temos duas versões, a receita total é a soma das receitas das duas versões:
A receita da capa dura é
e da brochura é
. Então escrevemos:
Agora substituímos
e
:
Vamos desenvolver os produtos passo a passo (distribuindo cada termo):
Para o primeiro produto:
Para o segundo produto:
Somando as duas parcelas, juntamos os termos semelhantes (observe que
):
Passo 3
Agora vamos pensar no domínio
. O problema físico impõe algumas condições naturais:
-
e representam quantidades de exemplares por dia, portanto devem ser não negativas: e . - Além disso, se o preço unitário de alguma edição ficasse negativo, isso não faria sentido prático; então precisamos de
e .
Escrevendo essas desigualdades:
Vamos manipular cada uma para formas lineares sem casas decimais. Multiplicando a primeira por
(para eliminar decimais):
ou seja
Multiplicando a segunda por
:
ou seja
Juntando tudo, o domínio é o conjunto de pares
que satisfazem
Passo 4
Vamos entender geometricamente esse domínio (é importante para a parte (c)). As fronteiras são as retas:
e
além dos eixos [x=0) e
. É um polígono convexo limitado. Para determinar os vértices, encontramos as interseções relevantes:
Interseção com o eixo
: impondo
em
dá
. Então
é um ponto da fronteira.
Interseção com o eixo
: impondo
em
dá
. Então
é ponto da fronteira.
Interseção entre as duas retas
e
: resolvemos o sistema
Resolvendo (eliminação):
- Da primeira, .]
Passo 5
Agora queremos o conjunto de todos os pares
tais que a receita total é R$
, isto é,
Substituindo a expressão de
que obtivemos:
Colocando tudo num só lado:
Para ficar sem decimais, multiplicamos a equação por
(ou por
e depois por
); faço a multiplicação por
e troco o sinal:
Essa é uma equação quadrática geral em
. Para identificar o tipo da curva, olhamos para os coeficientes do termo quadrático:
,
(coeficiente de
),
. O discriminante do termo quadrático é
portanto trata-se de uma elipse (ou possivelmente vazia, mas nesse caso haverá interseção com o domínio — convém verificar graficamente). Assim o conjunto pedido é a interseção da elipse dada acima com o domínio determinado no Passo 3.
Passo 6
Para esboçar no Maple, é prático restringir a janela de desenho ao retângulo que contém todo o domínio:
,
. Um comando Maple que desenha a curva implícita
nessa janela é, por exemplo:
with(plots):
implicitplot(5x2+2*x*y+3*y2-20000x-15000*y+25000000=0, x=0…4000, y=0…5000, grid=[200,200], axes=boxed, color=red);
implicitplot(5x2+2*x*y+3*y2-20000x-15000*y+25000000=0, x=0…4000, y=0…5000, grid=[200,200], axes=boxed, color=red);
Esse comando desenha a elipse (parte dela que cair na janela). Se você quiser desenhar também o polígono do domínio para visualizar a interseção, pode sobrepor (usando display) a região do polígono com a curva; comandos completos básicos são:
with(plots):
E:=implicitplot(5x2+2*x*y+3*y2-20000x-15000*y+25000000=0, x=0…4000, y=0…5000, grid=[200,200], color=red):
D:=plot([[0,0],[4000,0],[22500/7,27500/7],[0,5000],[0,0]], style=patchnopoint, color=lightgray):
display([D,E]);
E:=implicitplot(5x2+2*x*y+3*y2-20000x-15000*y+25000000=0, x=0…4000, y=0…5000, grid=[200,200], color=red):
D:=plot([[0,0],[4000,0],[22500/7,27500/7],[0,5000],[0,0]], style=patchnopoint, color=lightgray):
display([D,E]);
Copie e cole esses comandos no Maple e execute para ver o esboço. (Não é necessário copiar aqui a figura.)
Resposta
(a)
(b)
(c) O conjunto dos pares com receita diária R$
é
Comandos Maple sugeridos para esboçar (copie e cole no Maple):
with(plots):
implicitplot(5x2+2*x*y+3*y2-20000x-15000y+25000000=0, x=0…4000, y=0…5000, grid=[200,200], axes=boxed, color=red);
with(plots):
E:=implicitplot(5x2+2*x*y+3*y2-20000x-15000y+25000000=0, x=0…4000, y=0…5000, grid=[200,200], color=red):
D:=plot([[0,0],[4000,0],[22500/7,27500/7],[0,5000],[0,0]], style=patchnopoint, color=lightgray):
display([D,E]);
with(plots):
implicitplot(5x2+2*x*y+3*y2-20000x-15000y+25000000=0, x=0…4000, y=0…5000, grid=[200,200], axes=boxed, color=red);
with(plots):
E:=implicitplot(5x2+2*x*y+3*y2-20000x-15000y+25000000=0, x=0…4000, y=0…5000, grid=[200,200], color=red):
D:=plot([[0,0],[4000,0],[22500/7,27500/7],[0,5000],[0,0]], style=patchnopoint, color=lightgray):
display([D,E]);