Seja r a reta que passa pelos pontos A=(-3,2,1) e B=(2,1,-2). Considere o plano \Pi que passa pelo ponto C=(5,-4,7) e é ortogonal a reta r.
(a) Determine uma equação paramétrica (ou vetorial) para r.
(b) Determine uma equação cartesiana (ou seja, do tipo a x+b y+c z=0 ) para \Pi.
(c) Determine o ponto de interseção de r com \Pi.
Passo 1
O enunciado dá três pontos e pede três coisas. Escrevo aqui, bem claro, o que foi dado e o que preciso encontrar, sem resolver ainda.
Dados: \;A=(-3,2,1), \;B=(2,1,-2), \;C=(5,-4,7).
Perguntas:
(a) Determinar uma equação paramétrica (ou vetorial) para a reta \,r que passa por A e B.
(b) Determinar uma equação cartesiana (do tipo a x+b y+c z=0 — eu vou escrever no formato padrão igual a zero) para o plano \Pi que passa por C e é ortogonal à reta r.
(c) Determinar o ponto de interseção de r com \Pi.
Passo 2
Primeiro precisamos de um vetor diretor da reta r. Se uma reta passa por A e B, um vetor diretor é \overrightarrow{AB}=B-A. Vou calcular coordenada a coordenada; isso é apenas subtrair as coordenadas correspondentes.
Explicação: \overrightarrow{AB} aponta de A para B. As componentes são: primeira componente 5 (diferença nas x), segunda -1 (diferença nas y), terceira -3 (diferença nas z).
Passo 3
Agora escrevo a equação paramétrica (vetorial) da reta r. Forma geral: se um ponto P_0=(x_0,y_0,z_0) está na reta e \mathbf{v}=(v_x,v_y,v_z) é vetor diretor, então a reta é
Explicação didática: o parâmetro t é um número real que “anda” ao longo da reta; para t=0 estamos no ponto A; para t=1 estamos no ponto B; outros valores de t dão outros pontos da reta.
Passo 4
Agora o plano \Pi passa por C e é ortogonal à reta r. Conceito importante: um plano é determinado por um ponto e um vetor normal \mathbf{n} (vetor perpendicular ao plano). Se o plano é ortogonal a uma reta, então o vetor diretor da reta é um vetor normal ao plano. Logo podemos tomar
\mathbf{n}=\overrightarrow{AB}=(5,-1,-3).
Explicação do porquê: “ortogonal” aqui significa que qualquer vetor do plano é perpendicular ao vetor diretor da reta; portanto esse vetor diretor é normal ao plano.
Passo 5
Uso a forma ponto-normal do plano: se \mathbf{n}=(a,b,c) é normal e P_0=(x_0,y_0,z_0) é ponto do plano, então qualquer ponto (x,y,z) do plano satisfaz
Aqui \mathbf{n}=(5,-1,-3) e P_0=C=(5,-4,7). Substituo:
5(x-5) + (-1)(y+4) + (-3)(z-7) = 0.
Agora eu expando e simplifico passo a passo (mostrando contas para poder fazer na prova sem calculadora):
Calcule cada termo:
5(x-5)=5x-25,
-1\cdot(y+4) = -y -4,
-3\cdot(z-7) = -3z +21.
Somando:
5x-25 - y -4 -3z +21 = 0.
Agrupo constantes: -25 -4 +21 = -8. Então:
5x - y -3z -8 = 0.
Esta é a equação cartesiana do plano no formato com zero à direita, do tipo pedido.
Observação: podemos também escrever \,5x-y-3z=8\,, mas a forma com o zero à direita é \,5x-y-3z-8=0.
Passo 6
Agora encontro o ponto de interseção entre r e \Pi. Estratégia: pegar a parametrização da reta (Passo 3) e substituir as coordenadas (x,y,z) na equação do plano (Passo 5). Assim obtenho uma equação em t, resolvo para t e depois calculo o ponto.
Substituo
x=-3+5t,\quad y=2-t,\quad z=1-3t
na equação do plano 5x-y-3z-8=0.
Faço a substituição passo a passo:
5(-3+5t) - (2-t) -3(1-3t) -8 =0.
Agora expandindo cada parte:
5(-3+5t) = -15 +25t.
-(2-t) = -2 + t.
-3(1-3t) = -3 +9t.
Somando todos:
(-15+25t) + (-2+t) + (-3+9t) -8 =0.
Agrupo termos semelhantes: coeficientes de t:
25t + t + 9t = 35t.
Constantes:
-15 -2 -3 -8 = -28.
Logo a equação vira
35t -28 = 0.
Passo 7
Resolvo para t:
35t = 28 \quad\Rightarrow\quad t = \frac{28}{35} = \frac{4}{5}.
Agora calculo as coordenadas do ponto substituindo t=\frac{4}{5} nas paramétricas da reta. Faço cada componente com fração para ficar exato:
Portanto o ponto de interseção é \left(1,\;\frac{6}{5},\;-\frac{7}{5}\right).
Passo 8
(Verificação rápida — é uma boa prática na prova) Substituo o ponto obtido \left(1,\frac{6}{5},-\frac{7}{5}\right) na equação do plano 5x-y-3z-8 para checar: