Questão 1

Seja r a reta que passa pelos pontos A=(1,2,-3) e B=(-2,1,1). Considere o plano \Pi que passa pelo ponto C=(7,-4,5) e é ortogonal a reta r.
(a) Determine uma equação paramétrica (ou vetorial) para r.
(b) Determine uma equação cartesiana (ou seja, do tipo a x+b y+c z=0 ) para \Pi.
(c) Determine o ponto de interseção de r com \Pi.

Passo 1

Dados fornecidos:
  • Ponto A=(1,2,-3).
  • Ponto B=(-2,1,1).
  • Ponto C=(7,-4,5).
  • A reta r passa por A e B.
  • O plano \Pi passa por C e é ortogonal à reta r.
O que o enunciado pede:
(a) Uma equação paramétrica (ou vetorial) para a reta r.
(b) Uma equação cartesiana para o plano \Pi (forma linear igual a zero).
(c) O ponto de interseção entre r e \Pi.

Passo 2

Encontrar o vetor diretor de r.
Definição e ideia: o vetor diretor de uma reta que passa por dois pontos P_1 e P_2 é \vec{d}=P_2-P_1, isto é, subtrai-se coordenada a coordenada. Assim obtemos um vetor que aponta na direção da reta.
Aplicando aos pontos A e B:
\vec{d} = \overrightarrow{AB} = B - A = (-2-1,\;1-2,\;1-(-3)).
Calcule componente a componente:
\overrightarrow{AB}=(-3,\,-1,\,4).

Passo 3

Escrever a equação paramétrica/vetorial da reta r.
Fórmula: se uma reta passa por um ponto P_0=(x_0,y_0,z_0) e tem vetor diretor \vec{d}=(d_x,d_y,d_z), uma equação vetorial é
\mathbf{r}(t)=P_0 + t\vec{d},
onde t\in\mathbb{R}. Em coordenadas essa equação equivale a
x = x_0 + t d_x,\qquad y = y_0 + t d_y,\qquad z = z_0 + t d_z.
Usando P_0=A=(1,2,-3) e \vec{d}=(-3,-1,4):
\mathbf{r}(t)=(1,2,-3)+t(-3,-1,4).
Em forma componente:
x=1-3t,\quad y=2-t,\quad z=-3+4t,\qquad t\in\mathbb{R}.

Passo 4

Determinar a equação do plano \Pi que passa por C e é ortogonal a r.
Conceito: se um plano é ortogonal a uma reta, então o vetor diretor dessa reta é normal ao plano. Assim o vetor normal \vec{n} do plano pode ser tomado igual a \vec{d}.
Tomamos \vec{n}=\overrightarrow{AB}=(-3,-1,4). A equação cartesiana de um plano com normal \vec{n}=(a,b,c) passando por P_0=(x_0,y_0,z_0) é
a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0.
Aqui a,b,c são as componentes do vetor normal e x,y,z são as coordenadas variáveis do plano.
Aplicando com \vec{n}=(-3,-1,4) e C=(7,-4,5):
-3(x-7)-1(y-(-4))+4(z-5)=0.

Passo 5

Expandir e simplificar a equação do plano.
Expandindo termo a termo:
-3x+21 -y-4 +4z-20 = 0.
Somando as constantes 21-4-20=-3, obtemos
-3x - y + 4z -3 = 0.
Multiplicando por -1 para ficar com coeficiente positivo do x (opcional, mas comum):
3x + y - 4z + 3 = 0.
Essa é a equação cartesiana de \Pi.

Passo 6

Determinar o ponto de interseção entre r e \Pi.
Método: substituir as coordenadas paramétricas da reta na equação do plano e resolver para o parâmetro t. Depois obter as coordenadas usando esse t.
Usar a equação do plano 3x+y-4z+3=0 e as expressões da reta
x=1-3t,\quad y=2-t,\quad z=-3+4t.
Substituindo:
3(1-3t)+(2-t)-4(-3+4t)+3=0.

Passo 7

Resolver a equação para t.
Calcule cada termo:
3(1-3t)=3-9t,
(2-t)=2-t,
-4(-3+4t)=12-16t.
Somando tudo junto e incluindo o +3:
(3-9t)+(2-t)+(12-16t)+3=0.
Somando constantes: 3+2+12+3=20. Somando coeficientes de t: -9-1-16=-26. Logo
20 -26t = 0.
Assim
t=\frac{20}{26}=\frac{10}{13}.

Passo 8

Calcular as coordenadas do ponto de interseção usando t=\dfrac{10}{13}.
Substituir em cada componente da reta:
x = 1 - 3\cdot\frac{10}{13} = 1 - \frac{30}{13} = \frac{13-30}{13} = -\frac{17}{13},
y = 2 - \frac{10}{13} = \frac{26-10}{13} = \frac{16}{13},
z = -3 + 4\cdot\frac{10}{13} = -3 + \frac{40}{13} = -\frac{39}{13}+\frac{40}{13} = \frac{1}{13}.
Portanto o ponto de interseção é \bigl(-\dfrac{17}{13},\; \dfrac{16}{13},\; \dfrac{1}{13}\bigr).

Resposta

\mathbf{r}(t)=(1,2,-3)+t(-3,-1,4),\quad t\in\mathbb{R}
3x+y-4z+3=0
\displaystyle\left(-\frac{17}{13},\;\frac{16}{13},\;\frac{1}{13}\right)

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