Questão 1) Verifique se as função abaixo são homogêneas e, acaso afirmativo, determineo seu grau:
a) f(x, y)=x \operatorname{sen} \frac{x}{y}+\frac{x^{2}}{y}
b) f(x, y)=\cos \frac{x+4 y}{x}
c) f(x, y)=x \ln y+y e^{x}
d) f(x, y)=x^{2}+2 y^{2}
Questão 2) Encotre as soluções da EDO homogêneas abaixo (use a substituição y=u x )
\begin{gathered}
\text { a) } x \frac{d y}{d x}-y\left(\ln \frac{y}{x}+1\right)=0 \\
\text { b) } y d x-\left(x-\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) d y=0
\end{gathered}
Passo 1
O enunciado tem duas partes. Na Parte A1, devemos verificar se cada função
é homogênea, isto é, se f(tx,ty)=t^k f(x,y) para algum grau k. Na Parte A2, temos duas EDOs homogêneas e devemos resolvê-las com a substituição y=ux, usando que
\frac{dy}{dx}=u + x\frac{du}{dx}.
Passo 2
Verificamos a homogeneidade de f(x,y)=x\sin(x/y)+x^2/y. Fazendo x\to tx, y\to ty obtemos