3.EDO Homogêneas

PARTE A

Questão 1) Verifique se as função abaixo são homogêneas e, acaso afirmativo, determineo seu grau:
a) f(x, y)=x \operatorname{sen} \frac{x}{y}+\frac{x^{2}}{y}
b) f(x, y)=\cos \frac{x+4 y}{x}
c) f(x, y)=x \ln y+y e^{x}
d) f(x, y)=x^{2}+2 y^{2}
Questão 2) Encotre as soluções da EDO homogêneas abaixo (use a substituição y=u x )
\begin{gathered} \text { a) } x \frac{d y}{d x}-y\left(\ln \frac{y}{x}+1\right)=0 \\ \text { b) } y d x-\left(x-\sqrt{x^{2}+y^{2}}\right) d y=0 \end{gathered}

Passo 1

O enunciado tem duas partes. Na Parte A1, devemos verificar se cada função
\text{a) }f(x,y)=x\sin\Bigl(\frac{x}{y}\Bigr)+\frac{x^2}{y},\quad \text{b) }f(x,y)=\cos\Bigl(\frac{x+4y}{x}\Bigr),\quad \text{c) }f(x,y)=x\ln y+y e^x,\quad \text{d) }f(x,y)=x^2+2y^2
é homogênea, isto é, se f(tx,ty)=t^k f(x,y) para algum grau k. Na Parte A2, temos duas EDOs homogêneas e devemos resolvê-las com a substituição y=ux, usando que
\frac{dy}{dx}=u + x\frac{du}{dx}.

Passo 2

Verificamos a homogeneidade de f(x,y)=x\sin(x/y)+x^2/y. Fazendo x\to tx, y\to ty obtemos
f(tx,ty)=t x\sin\!\Bigl(\frac{tx}{ty}\Bigr)+\frac{t^2x^2}{t y} =t\Bigl[x\sin\!\Bigl(\tfrac{x}{y}\Bigr)+\frac{x^2}{y}\Bigr] =t\,f(x,y).
Logo, f é homogênea de grau k=1.

Passo 3

Para f(x,y)=\cos\bigl((x+4y)/x\bigr), note que
\frac{t x+4\,t y}{t x}=\frac{x+4y}{x},
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f(tx,ty)=\cos\Bigl(\frac{x+4y}{x}\Bigr)=f(x,y).
Isto é, f é homogênea de grau k=0.

Passo 4

Em f(x,y)=x\ln y+y e^x temos
f(tx,ty)=t x\ln(ty)+t y\,e^{t x} =t x\bigl(\ln t+\ln y\bigr)+t y\,e^{t x}
que não se escreve como t^k\bigl[x\ln y+y e^x\bigr]. Portanto f não é homogênea.

Passo 5

Para f(x,y)=x^2+2y^2 aplicamos x\to tx, y\to ty e achamos
f(tx,ty)=t^2x^2+2\,t^2y^2 =t^2\bigl(x^2+2y^2\bigr) =t^2f(x,y),
isto é, homogênea de grau k=2.

Passo 6

Agora resolvemos a EDO (a)
x\frac{dy}{dx}-y\Bigl(\ln\frac{y}{x}+1\Bigr)=0.
Escrevemos \displaystyle\frac{dy}{dx}=u + x\frac{du}{dx} com y=ux e \ln(y/x)=\ln u. Substituindo em
x\bigl(u + x\frac{du}{dx}\bigr)=u x\bigl(\ln u+1\bigr),
dividindo por x,
u + x\frac{du}{dx}=u(\ln u+1) \quad\Longrightarrow\quad x\frac{du}{dx}=u\ln u.
Separamos variáveis:
\frac{du}{u\ln u}=\frac{dx}{x}.
Integrando,
\int\frac{du}{u\ln u}=\int\frac{dx}{x} \quad\Longrightarrow\quad \ln\bigl|\ln u\bigr|=\ln|x|+C_1.
Exponenciando e absorvendo sinais em C, obtemos
\ln u=Cx \quad\Longrightarrow\quad u=e^{Cx} \quad\Longrightarrow\quad y=ux=x\,e^{Cx},
onde C é constante de integração.

Passo 7

Para a EDO (b)
y\,dx-\bigl(x-\sqrt{x^2+y^2}\bigr)\,dy=0
escrevemos em forma dy/dx:
y-(x-\sqrt{x^2+y^2})\frac{dy}{dx}=0 \quad\Longrightarrow\quad \frac{dy}{dx}=\frac{y}{x-\sqrt{x^2+y^2}}.
Com y=ux, \sqrt{x^2+y^2}=x\sqrt{1+u^2} e dy/dx=u+x\,du/dx, ficamos com
u+x\frac{du}{dx} =\frac{u}{1-\sqrt{1+u^2}},
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x\frac{du}{dx} =\frac{u}{1-\sqrt{1+u^2}}-u =-\frac{u\sqrt{1+u^2}}{\sqrt{1+u^2}-1}.
Separamos variáveis e integramos; depois de contas de logaritmos, chega-se à solução implícita mais simples em u=y/x:
y^2 = K\, \frac{\sqrt{x^2+y^2}-x}{\sqrt{x^2+y^2}+x},
onde K é constante de integração.

Resposta

a) homogênea de grau 1
b) homogênea de grau 0
c) não homogênea
d) homogênea de grau 2 2 a) y = x\,e^{C x}, C\in\mathbb{R}
2 b) solução implícita
y^2\;(\,\sqrt{x^2+y^2}+x\,) =K\;(\,\sqrt{x^2+y^2}-x\,),\quad K\in\mathbb{R}.

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