Parte A
  1. Encontre a solução geral das Equações abaixo:
    a) \frac{y}{x} d y-\operatorname{sen} x^{2} d x=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial
\frac{y}{x}\,dy \;-\;\sin\bigl(x^{2}\bigr)\,dx \;=\;0
Esse é um caso de equação de variáveis separáveis: podemos levar todos os termos em y para um lado e todos os termos em x para o outro.

Passo 2

Reorganizamos a equação para separar variáveis. Partindo de
\frac{y}{x}\,dy = \sin\bigl(x^{2}\bigr)\,dx
multiplicamos ambos os lados por x, obtendo
y\,dy = x\,\sin\bigl(x^{2}\bigr)\,dx.

Passo 3

Agora integramos cada lado: o lado esquerdo em função de y e o direito em função de x:
\int y\,dy = \int x\,\sin\bigl(x^{2}\bigr)\,dx.

Passo 4

Calculamos as duas integrais separadamente. No lado esquerdo,
\int y\,dy = \frac{y^{2}}{2}.
No lado direito, fazemos a substituição u = x^{2}, du = 2x\,dx, daí
\int x\,\sin\bigl(x^{2}\bigr)\,dx = \frac{1}{2}\int \sin(u)\,du = -\frac{1}{2}\cos(u) = -\frac{1}{2}\cos\bigl(x^{2}\bigr).

Passo 5

Igualando e incluindo a constante de integração C, temos
\frac{y^{2}}{2} = -\frac{1}{2}\cos\bigl(x^{2}\bigr) + C.
Multiplicando tudo por 2 e reorganizando, chega-se à forma implícita da solução geral:

Resposta

y^{2} + \cos\bigl(x^{2}\bigr) = C',
onde C' = 2C é constante arbitrária.

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