Uma EDO linear de
ordem com coeficientes polinomiais que tem um ponto singular em
é da forma
Mostre que, considerando séries de potências centradas em
nos casos em que o método de Frobenius se aplica (quando
é um ponto singular regular), obtemos a equação indicial
se
Passo 1
O enunciado nos dá uma EDO linear de segunda ordem com ponto singular em
:
Como
é ponto singular regular (isto é,
), vamos aplicar o método de Frobenius e assumir uma solução da forma
Passo 2
Calculemos as derivadas formais:
Passo 3
Substituindo na EDO e recolhendo somente os termos de menor potência em
, temos:
Logo, o termo de menor expoente é
, vindo dos dois primeiros somatórios.
Passo 4
Extraindo o coeficiente de
(isto é, tomando
nos dois primeiros somatórios) e igualando a zero, obtemos
Como
, divide-se por
e factoriza-se em
:
Resposta
A equação indicial é