Uma EDO linear de 2^{\mathrm{a}} ordem com coeficientes polinomiais que tem um ponto singular em x=0 é da forma
x\left(A_{0}+A_{1} x+A_{2} x^{2}+\cdots\right) y^{\prime \prime}+\left(B_{0}+B_{1} x+B_{2} x^{2}+\cdots\right) y^{\prime}+\left(C_{0}+C_{1} x+C_{2} x^{2}+\cdots\right) y=0 .
Mostre que, considerando séries de potências centradas em x=0 nos casos em que o método de Frobenius se aplica (quando x=0 é um ponto singular regular), obtemos a equação indicial
A_{0} r^{2}+\left(B_{0}-A_{0}\right) r=0 se A_{0} \neq 0

Passo 1

O enunciado nos dá uma EDO linear de segunda ordem com ponto singular em x=0:
x\bigl(A_{0}+A_{1} x+\cdots\bigr)\,y''+\bigl(B_{0}+B_{1} x+\cdots\bigr)\,y' +\bigl(C_{0}+C_{1} x+\cdots\bigr)\,y=0.
Como x=0 é ponto singular regular (isto é, A_{0}\neq0), vamos aplicar o método de Frobenius e assumir uma solução da forma
y=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n+r}.

Passo 2

Calculemos as derivadas formais:
y=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n+r},\quad y'=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(n+r)\,x^{n+r-1},\quad y''=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(n+r)(n+r-1)\,x^{n+r-2}.

Passo 3

Substituindo na EDO e recolhendo somente os termos de menor potência em x, temos:
x(A_{0}+\cdots)\,y''=A_{0}\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(n+r)(n+r-1)x^{n+r-1}+\cdots,
(B_{0}+\cdots)\,y'=B_{0}\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}(n+r)x^{n+r-1}+\cdots,
(C_{0}+\cdots)\,y=C_{0}\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n+r}+\cdots.
Logo, o termo de menor expoente é x^{r-1}, vindo dos dois primeiros somatórios.

Passo 4

Extraindo o coeficiente de x^{r-1} (isto é, tomando n=0 nos dois primeiros somatórios) e igualando a zero, obtemos
A_{0}\,a_{0}\,r(r-1)+B_{0}\,a_{0}\,r=0.
Como a_{0}\neq0, divide-se por a_{0} e factoriza-se em r:
A_{0}\,r(r-1)+B_{0}\,r=0 \quad\Longrightarrow\quad A_{0}r^{2}-A_{0}r+B_{0}r=0 \quad\Longrightarrow\quad A_{0}r^{2}+(B_{0}-A_{0})r=0.

Resposta

A equação indicial é
A_{0}\,r^{2}+\bigl(B_{0}-A_{0}\bigr)\,r=0.

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