Uma EDO linear de
ordem com coeficientes polinomiais que tem um ponto singular em
é da forma
Mostre que, considerando séries de potências centradas em
nos casos em que o método de Frobenius se aplica (quando
é um ponto singular regular), obtemos a equação indicial
se
e
Passo 1
O enunciado trata de uma EDO linear de 2ª ordem com ponto singular em
, ou seja,
e nos diz que em caso de ponto singular regular (aqui
e
) podemos usar o método de Frobenius. Vamos supor uma solução do tipo
e obter a equação indicial, que é a condição que o expoente
deve satisfazer.
Passo 2
Para aplicar Frobenius, escrevemos as derivadas em série:
Passo 3
Como
, os primeiros termos não contribuem, e o coeficiente não nulo mais baixo de cada série vem de:
-
, produzindo -
, produzindo -
, produzindo
O menor expoente que aparece nessas três séries é
, obtido para
. O coeficiente de
vale
Como a soma de todas as contribuições deve ser zero, impomos
Passo 4
Basta expandir e coletar os termos em
e
: