Uma EDO linear de 2^{\mathrm{a}} ordem com coeficientes polinomiais que tem um ponto singular em x=0 é da forma
x\left(A_{0}+A_{1} x+A_{2} x^{2}+\cdots\right) y^{\prime \prime}+\left(B_{0}+B_{1} x+B_{2} x^{2}+\cdots\right) y^{\prime}+\left(C_{0}+C_{1} x+C_{2} x^{2}+\cdots\right) y=0 .
Mostre que, considerando séries de potências centradas em x=0 nos casos em que o método de Frobenius se aplica (quando x=0 é um ponto singular regular), obtemos a equação indicial
A_{1} r^{2}+\left(B_{1}-A_{1}\right) r+C_{0}=0 se A_{0}=B_{0}=0 e A_{1} \neq 0

Passo 1

O enunciado trata de uma EDO linear de 2ª ordem com ponto singular em x=0, ou seja,
x\bigl(A_{0}+A_{1}x+\cdots\bigr)y''+\bigl(B_{0}+B_{1}x+\cdots\bigr)y'+\bigl(C_{0}+C_{1}x+\cdots\bigr)y=0,
e nos diz que em caso de ponto singular regular (aqui A_{0}=B_{0}=0 e A_{1}\neq0) podemos usar o método de Frobenius. Vamos supor uma solução do tipo
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n+r},\quad a_{0}\neq0,
e obter a equação indicial, que é a condição que o expoente r deve satisfazer.

Passo 2

Para aplicar Frobenius, escrevemos as derivadas em série:
y(x)=\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}x^{n+r},\quad y'(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(n+r)\,a_{n}\,x^{n+r-1},\quad y''(x)=\sum_{n=0}^{\infty}(n+r)(n+r-1)\,a_{n}\,x^{n+r-2}.

Passo 3

Como A_{0}=B_{0}=0, os primeiros termos não contribuem, e o coeficiente não nulo mais baixo de cada série vem de:
  • x\cdot A_{1}x\cdot y''=A_{1}x^{2}y'', produzindo A_{1}\sum_{n=0}^{\infty}(n+r)(n+r-1)\,a_{n}\,x^{n+r}.
  • B_{1}x\cdot y', produzindo B_{1}\sum_{n=0}^{\infty}(n+r)\,a_{n}\,x^{n+r}.
  • C_{0}\,y, produzindo C_{0}\sum_{n=0}^{\infty}a_{n}\,x^{n+r}.
O menor expoente que aparece nessas três séries é x^{r}, obtido para n=0. O coeficiente de x^{r} vale
a_{0}\Bigl[A_{1}\,r(r-1)+B_{1}\,r+C_{0}\Bigr].
Como a soma de todas as contribuições deve ser zero, impomos
A_{1}\,r(r-1)+B_{1}\,r+C_{0}=0.

Passo 4

Basta expandir e coletar os termos em r^{2} e r:
A_{1}(r^{2}-r)+B_{1}r+C_{0}=A_{1}r^{2}+(B_{1}-A_{1})r+C_{0}=0.

Resposta

A_{1}r^{2}+\bigl(B_{1}-A_{1}\bigr)r+C_{0}=0.

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