Calcule a solução geral na forma de uma série centrada no ponto singular regular
, e com
, de cada uma das seguintes EDOs (que são tais que as raízes indiciais diferem por um número inteiro não-nulo, sendo necessário calcular uma segunda solução linearmente independente por um dos três procedimentos abordados na seção 2.2.3):
(c)
(c)
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da equação de Frobenius
em série centrada em
, para
, sabendo que as raízes indiciais diferem por inteiro não–zero (logo precisaremos de uma segunda solução independente via um dos métodos de Seção
.
).
Conteúdo: método de Frobenius e redução de ordem.
Conteúdo: método de Frobenius e redução de ordem.
Passo 2
Escrevemos a equação na forma padrão
Dividindo tudo por
obtém-se
isto é
Passo 3
Determinamos a equação indicial. As constantes são
A indicial é
isto é
Note que
.
Passo 4
Para a primeira solução tomamos
e
. O procedimento de Frobenius dá o sistema recursivo
com
. Para
simplifica-se o denominador:
Logo
e podemos escolher
. Isso leva à forma fechada
pois
. Assim
Passo 5
Como
inteiro, a segunda solução
envolverá logaritmo ou pode ser obtida por redução de ordem. Usamos
Aqui
,
portanto
. Logo o integrando é
portanto
e um cálculo termo a termo em série mostra que a primitiva gera um
mais uma série, levando a uma parte logarítmica. Omitimos os detalhes algébricos longos.
Passo 6
O resultado final é
onde os
satisfazem, para
, recursão análoga
e surge uma liberdade em
que produz o termo proporcional a
.
Resposta
A solução geral é
com
dado por
e
livre, o que gera o termo em
.