Calcule a solução geral na forma de uma série centrada no ponto singular regular
, e com
, de cada uma das seguintes EDOs (que são tais que as raízes indiciais diferem por um número inteiro não-nulo, sendo necessário calcular uma segunda solução linearmente independente por um dos três procedimentos abordados na seção 2.2.3):
(b)
(b)
Passo 1
Temos a EDO
O ponto
é singular, mas como
e
são finitos (ao escrever em forma padrão
), é um ponto singular regular.
Aplicaremos o método de Frobenius: procuramos
Aplicaremos o método de Frobenius: procuramos
e primeiro achamos a equação indicial para
.
Passo 2
Substituindo
,
e
na EDO e igualando o coeficiente de
a zero, obtemos a indicial
cuja solução é
e notamos que
. Portanto a primeira solução virá de
, e a segunda envolverá um termo em
.
Passo 3
Para construir a série, obtém‐se o seguinte relacionamento geral para os coeficientes (válido para todo
):
Escolhendo
, temos
Dessa recorrência resulta
Convenientemente escolhemos
para simplificar, ficando
Assim a primeira solução é
Passo 4
A segunda solução pode ser obtida por redução de ordem: escrevendo a EDO em forma padrão
temos
e
Expandindo em série
e integrando termo a termo, obtém‐se
Multiplicando por
, chega‐se a uma forma típica
onde, por exemplo, os dois primeiros termos sem o
são
Os
podem ser determinados por continuidade da expansão, mas o importante é que essa solução é linearmente independente de
.
Resposta
A solução geral, válida para
, é
com
onde
,
, etc., garantem independência linear.