EDOS de Euler-Cauchy
Passo 1
O enunciado nos dá a equação de Euler–Cauchy
e pede a solução geral
. Como é uma ED de Euler, vamos primeiro achar a solução geral da homogênea e depois uma particular para o lado direito dividido em duas partes: um polinômio
e uma exponencial
.
Passo 2
Para a parte homogênea
fazemos o palpite
. Substituindo, obtemos o indicial
As raízes são
Logo a solução geral da homogênea é
Passo 3
Procuramos uma solução particular
para o termo polinomial
. Usamos o palpite
Calculamos
e substituímos em
:
Isto dá o sistema
Portanto
Passo 4
Para o termo exponencial
usamos variação de parâmetros com as duas soluções fundamentais
O Wronskiano é
As fórmulas dão
ou seja
Integrando, obtemos
Então a parte particular para
é
com
dados acima em forma de integral.
Passo 5
A solução geral da ED completa é
isto é