EDOS de Euler-Cauchy
x^{2} y^{\prime \prime}+5 x y^{\prime}+6 y=x^{2}+e^{x}

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de Euler–Cauchy
x^{2}y''+5x\,y'+6y = x^{2} + e^{x},
e pede a solução geral y(x). Como é uma ED de Euler, vamos primeiro achar a solução geral da homogênea e depois uma particular para o lado direito dividido em duas partes: um polinômio x^{2} e uma exponencial e^{x}.

Passo 2

Para a parte homogênea
x^{2}y''+5x\,y'+6y=0
fazemos o palpite y=x^{m}. Substituindo, obtemos o indicial
m(m-1)+5m+6 = m^{2}+4m+6 = 0.
As raízes são
m = \frac{-4\pm\sqrt{16-24}}{2} = -2\pm i\sqrt{2}.
Logo a solução geral da homogênea é
y_{h}(x) = x^{-2}\Bigl(C_{1}\cos\bigl(\sqrt{2}\,\ln x\bigr) +C_{2}\sin\bigl(\sqrt{2}\,\ln x\bigr)\Bigr).

Passo 3

Procuramos uma solução particular y_{p1} para o termo polinomial x^{2}. Usamos o palpite
y_{p1} = A x^{2} + Bx + C.
Calculamos
y'_{p1}=2Ax+B,\quad y''_{p1}=2A,
e substituímos em x^{2}y''+5x y'+6y = x^{2}:
x^{2}(2A)+5x(2Ax+B)+6(Ax^{2}+Bx+C) =18A\,x^{2}+11B\,x+6C \overset!= x^{2}.
Isto dá o sistema
18A=1,\quad 11B=0,\quad 6C=0 \;\Longrightarrow\; A=\tfrac1{18},\;B=0,\;C=0.
Portanto
y_{p1}(x) = \frac{x^{2}}{18}.

Passo 4

Para o termo exponencial e^{x} usamos variação de parâmetros com as duas soluções fundamentais
y_{1}=x^{-2}\cos(\beta\ln x),\quad y_{2}=x^{-2}\sin(\beta\ln x), \quad \beta=\sqrt{2}.
O Wronskiano é
W = y_{1}y'_{2}-y'_{1}y_{2} = \beta\,x^{-5} = \sqrt{2}\,x^{-5}.
As fórmulas dão
u_{1}' = -\frac{y_{2}\,e^{x}}{x^{2}W},\quad u_{2}' = \frac{y_{1}\,e^{x}}{x^{2}W},
ou seja
u_{1}' = -\frac{x^{-2}\sin(\beta\ln x)\,e^{x}} {\sqrt{2}\,x^{-3}} = -\frac{x\,e^{x}}{\sqrt{2}}\sin(\beta\ln x),
u_{2}' = \frac{x^{-2}\cos(\beta\ln x)\,e^{x}} {\sqrt{2}\,x^{-3}} = \frac{x\,e^{x}}{\sqrt{2}}\cos(\beta\ln x).
Integrando, obtemos
u_{1}(x) = -\frac{1}{\sqrt{2}}\!\int x\,e^{x}\sin(\beta\ln x)\,dx, \quad u_{2}(x) = \frac{1}{\sqrt{2}}\!\int x\,e^{x}\cos(\beta\ln x)\,dx.
Então a parte particular para e^{x} é
y_{p2}(x) = u_{1}(x)\,y_{1}(x) + u_{2}(x)\,y_{2}(x),
com u_{1},u_{2} dados acima em forma de integral.

Passo 5

A solução geral da ED completa é
y(x) = y_{h}(x) + y_{p1}(x) + y_{p2}(x),
isto é
y(x) = x^{-2}\Bigl(C_{1}\cos(\sqrt{2}\ln x) +C_{2}\sin(\sqrt{2}\ln x)\Bigr) + \frac{x^{2}}{18} + \underbrace{ -\frac{1}{\sqrt{2}}\,y_{1}(x)\!\int x\,e^{x}\sin(\beta\ln x)\,dx +\frac{1}{\sqrt{2}}\,y_{2}(x)\!\int x\,e^{x}\cos(\beta\ln x)\,dx }_{y_{p2}(x)}.

Resposta

\boxed{ y(x) = x^{-2}\Bigl(C_{1}\cos(\sqrt{2}\ln x) +C_{2}\sin(\sqrt{2}\ln x)\Bigr) + \frac{x^{2}}{18} - \frac{x^{-2}\cos(\sqrt{2}\ln x)}{\sqrt{2}} \int x\,e^{x}\sin(\sqrt{2}\ln x)\,dx + \frac{x^{-2}\sin(\sqrt{2}\ln x)}{\sqrt{2}} \int x\,e^{x}\cos(\sqrt{2}\ln x)\,dx }

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