EDOS de Euler-Cauchy
x^{2} y^{\prime \prime}-4 x y^{\prime}+5 y=x \cos (x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação de Euler–Cauchy não homogênea
x^{2}y''-4x\,y'+5y = x\cos(x).
O procedimento é: (i) achar a solução geral da homogênea usando o ansatz y=x^{m}; (ii) aplicar variação de parâmetros para obter uma particular; (iii) somar as duas partes.

Passo 2

Para a parte homogênea fazemos y=x^{m}. Então
y' = m\,x^{m-1},\qquad y''=m(m-1)x^{m-2}.
Substituindo em x^{2}y''-4x\,y'+5y=0
x^{2}\bigl[m(m-1)x^{m-2}\bigr]-4x\bigl[m\,x^{m-1}\bigr]+5\,x^{m}=0 \quad\Longrightarrow\quad m(m-1)-4m+5=0
ou seja
m^{2}-5m+5=0,
cuja raízes são
m_{1}=\frac{5+\sqrt{5}}{2},\quad m_{2}=\frac{5-\sqrt{5}}{2}.
Logo a solução homogênea é
y_{h}(x)=C_{1}\,x^{m_{1}}+C_{2}\,x^{m_{2}}.

Passo 3

Chamando
y_{1}(x)=x^{m_{1}},\qquad y_{2}(x)=x^{m_{2}},
o Wronskiano fica
W(x)= \begin{vmatrix} y_{1}&y_{2}\\[6pt] y_{1}'&y_{2}' \end{vmatrix} = \begin{vmatrix} x^{m_{1}}&x^{m_{2}}\\[3pt] m_{1}x^{m_{1}-1}&m_{2}x^{m_{2}-1} \end{vmatrix} = x^{m_{1}+m_{2}-1}(m_{2}-m_{1}) = -\sqrt{5}\,x^{4}.]

Passo 4

Para variação de parâmetros usamos
y_{p}(x)=-y_{1}(x)\int \frac{y_{2}(x)\,f(x)}{W(x)}dx +y_{2}(x)\int \frac{y_{1}(x)\,f(x)}{W(x)}dx,
onde f(x)=\dfrac{x\cos x}{x^{2}}=\dfrac{\cos x}{x}. Substituindo
\frac{y_{2}f}{W} =\frac{x^{m_{2}}\cos x/x}{-\,\sqrt{5}\,x^{4}} =-\frac{1}{\sqrt{5}}\,x^{m_{2}-5}\cos x, \quad \frac{y_{1}f}{W} =-\frac{1}{\sqrt{5}}\,x^{m_{1}-5}\cos x,
obtemos
y_{p}(x) =\frac{1}{\sqrt{5}}\;x^{m_{1}} \int x^{m_{2}-5}\cos x\,dx -\frac{1}{\sqrt{5}}\;x^{m_{2}} \int x^{m_{1}-5}\cos x\,dx.

Passo 5

A solução geral da equação não homogênea é
y(x)=y_{h}(x)+y_{p}(x) = C_{1}x^{\frac{5+\sqrt{5}}{2}} + C_{2}x^{\frac{5-\sqrt{5}}{2}} +\frac{x^{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}}{\sqrt{5}} \int x^{\frac{-5-\sqrt{5}}{2}}\cos x\,dx -\frac{x^{\frac{5-\sqrt{5}}{2}}}{\sqrt{5}} \int x^{\frac{-5+\sqrt{5}}{2}}\cos x\,dx.

Resposta

\boxed{ y(x)= C_{1}x^{\frac{5+\sqrt{5}}{2}} + C_{2}x^{\frac{5-\sqrt{5}}{2}} +\frac{x^{\frac{5+\sqrt{5}}{2}}}{\sqrt{5}} \int x^{\frac{-5-\sqrt{5}}{2}}\cos x\,dx -\frac{x^{\frac{5-\sqrt{5}}{2}}}{\sqrt{5}} \int x^{\frac{-5+\sqrt{5}}{2}}\cos x\,dx }

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