EDOS de Euler-Cauchy
x^{2} y^{\prime \prime}-6 x y^{\prime}+9 y=x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de Euler–Cauchy
x^{2}y'' - 6x\,y' + 9y = x
O conteúdo é equação de Cauchy–Euler. Para a parte homogênea usamos o ansatz y=x^{m} e, para a particular, método dos coeficientes indeterminados supondo y_{p}=A\,x^{r}.

Passo 2

Começamos pela parte homogênea. Substituindo y=x^{m} temos
y' = m\,x^{m-1}, \quad y'' = m(m-1)\,x^{m-2}.
Logo,
x^{2}\bigl[m(m-1)x^{m-2}\bigr] - 6x\bigl[mx^{m-1}\bigr] +9x^{m} = \bigl[m(m-1)-6m+9\bigr]x^{m}=0.
A equação indicial é
m(m-1)-6m+9= m^{2}-7m+9=0.
Resolvendo:
m = \frac{7\pm\sqrt{49-36}}{2} = \frac{7\pm\sqrt{13}}{2}.

Passo 3

Portanto, a solução geral da parte homogênea é
y_{h}(x) = C_{1}\,x^{\frac{7+\sqrt{13}}{2}} + C_{2}\,x^{\frac{7-\sqrt{13}}{2}}.

Passo 4

Para encontrar uma solução particular, observamos que o termo não homogêneo é x=x^{1}. Como r=1 não é raiz da indicial (que são \tfrac{7\pm\sqrt{13}}{2}), assumimos
y_{p}(x) = A\,x^{1}.
Então
y_{p}' = A,\quad y_{p}'' = 0,
e substituindo na equação original:
x^{2}\cdot0 \;-\;6x\cdot A \;+\;9\cdot A\,x = (-6A+9A)\,x = 3A\,x \stackrel{!}{=} x.
Logo 3A=1 e
A = \tfrac{1}{3}, \quad y_{p}(x)=\tfrac{1}{3}\,x.

Passo 5

A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com a particular:
y(x) = y_{h}(x) + y_{p}(x) = C_{1}\,x^{\frac{7+\sqrt{13}}{2}} + C_{2}\,x^{\frac{7-\sqrt{13}}{2}} + \tfrac{x}{3}.

Resposta

y(x) = C_{1}\,x^{\frac{7+\sqrt{13}}{2}} + C_{2}\,x^{\frac{7-\sqrt{13}}{2}} + \frac{x}{3}.

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