EDOS de Euler-Cauchy
x^{2} y^{\prime \prime}+6 x y^{\prime}+9 y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação de Euler–Cauchy
x^{2}y'' + 6x\,y' + 9y = 0
e pede a solução geral. Esse tipo de EDO se resolve assumindo uma solução do tipo y = x^{r} e reduzindo ao que chamamos de equação característica em r.

Passo 2

Supondo y = x^{r}, temos
y' = r\,x^{r-1}, \quad y'' = r(r-1)\,x^{r-2}.
Substituindo na EDO:
x^{2}\bigl[r(r-1)x^{r-2}\bigr] + 6x\bigl[r\,x^{r-1}\bigr] + 9\,x^{r} = 0.
Recolhendo o fator x^{r} (não nulo para x\neq0):

Passo 3

A parte em r fica
r(r-1) + 6r + 9 = 0 \quad\Longrightarrow\quad r^{2} + 5r + 9 = 0.
Calculamos o discriminante:
\Delta = 5^{2} - 4\cdot1\cdot9 = 25 - 36 = -11,
logo as raízes são complexas:
r = \frac{-5 \pm i\sqrt{11}}{2}.

Passo 4

Quando as raízes são r = \alpha \pm i\beta, a forma da solução real geral é
y(x) = x^{\alpha}\bigl(C_{1}\cos(\beta\ln x) + C_{2}\sin(\beta\ln x)\bigr).
Aqui \alpha = -\tfrac{5}{2} e \beta = \tfrac{\sqrt{11}}{2}.

Passo 5

Substituindo \alpha e \beta, obtemos
y(x) = x^{-\tfrac{5}{2}}\Bigl(C_{1}\cos\!\bigl(\tfrac{\sqrt{11}}{2}\ln x\bigr) + C_{2}\sin\!\bigl(\tfrac{\sqrt{11}}{2}\ln x\bigr)\Bigr).

Resposta

y(x) = x^{-\tfrac{5}{2}}\Bigl(C_{1}\cos\!\bigl(\tfrac{\sqrt{11}}{2}\ln x\bigr) + C_{2}\sin\!\bigl(\tfrac{\sqrt{11}}{2}\ln x\bigr)\Bigr).

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