EDOS de Euler-Cauchy
x^{2} y^{\prime \prime}+2 x y^{\prime}-8 y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO de Euler–Cauchy
x^{2}y''+2x y'-8y=0
e pede a solução geral. Para resolver precisamos usar o ansatz clássico de Euler, que é assumir uma solução do tipo y=x^{r}.

Passo 2

Assumindo y=x^{r}, calculamos as derivadas:
y' = r\,x^{r-1}
y'' = r(r-1)\,x^{r-2}

Passo 3

Substituindo em
x^{2}y''+2x y'-8y=0
vem
x^{2}\bigl[r(r-1)x^{r-2}\bigr] +2x\bigl[r x^{r-1}\bigr] -8\,x^{r}=0
ou seja
\bigl[r(r-1)+2r-8\bigr]x^{r}=0.
Como x^{r}\neq0, obtemos a equação característica
r(r-1)+2r-8=0
isto é
r^{2}+r-8=0.

Passo 4

Resolvendo
r^{2}+r-8=0
pela fórmula de Bhaskara,
r = \frac{-1\pm\sqrt{1+32}}{2} = \frac{-1\pm\sqrt{33}}{2}.
Chamando
r_{1} = \frac{-1+\sqrt{33}}{2}, \quad r_{2} = \frac{-1-\sqrt{33}}{2},
temos duas raízes reais e distintas.

Passo 5

Para EDO de Euler com raízes reais distintas a solução geral é
y(x) = C_{1}\,x^{r_{1}} + C_{2}\,x^{r_{2}}.

Resposta

y(x) = C_{1}\,x^{\frac{-1+\sqrt{33}}{2}} + C_{2}\,x^{\frac{-1-\sqrt{33}}{2}}.

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