EDOs Lineares, passíveis de resolução pelo fator integrante. Verifiquem se é possível.
Achar a solução particular para y(0)=0 \mathrm{em} \frac{d y}{d x}-y \cdot \tan x=\frac{1}{\cos x}

Passo 1

O enunciado dá a EDO de primeira ordem
\frac{dy}{dx} - y\,\tan x = \frac{1}{\cos x}
com condição inicial y(0)=0. Isso é uma EDO linear na forma
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x),
onde usaremos fator integrante para encontrar a solução.

Passo 2

Colocando em forma padrão, temos
P(x) = -\tan x, \quad Q(x) = \frac{1}{\cos x} = \operatorname{sec} x.
O fator integrante \mu(x) é
\mu(x)=\exp\bigl(\!\int P(x)\,dx\bigr) =\exp\bigl(\!\int -\tan x\,dx\bigr) =\exp\bigl(\ln\cos x\bigr) =\cos x.

Passo 3

Multiplicando a EDO original por \mu(x)=\cos x obtemos
\cos x\,\frac{dy}{dx}-y\,\sin x = 1.
O lado esquerdo é exatamente
\frac{d}{dx}\bigl(y\cos x\bigr) =\cos x\,\frac{dy}{dx}-y\,\sin x,
logo
\frac{d}{dx}\bigl(y\cos x\bigr)=1.
Integrando em x,
y\cos x = x + C,
onde C é constante de integração.

Passo 4

Isolando y,
y(x)=\frac{x+C}{\cos x}=(x+C)\,\operatorname{sec} x.
Impondo y(0)=0
0 = (0 + C)\sec0 = C\cdot1 \quad\Rightarrow\quad C=0.
Portanto a solução particular é
y(x)=x\,\operatorname{sec} x,
válida em intervalos onde \cos x\neq0.

Resposta

y(x)=x\,\operatorname{sec} x

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