EDOs Lineares, passíveis de resolução pelo fator integrante. Verifiquem se é possível.
Resolver o problema de valor inicial \frac{d y}{d x}+2 x y=x, \quad y(0)=-3

Passo 1

O enunciado dá a EDO linear de primeira ordem
\frac{dy}{dx} + 2x\,y = x
com condição inicial y(0)=-3. Para resolver, usamos o método do fator integrante, que é indicado sempre que a equação está na forma
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x).

Passo 2

Aqui P(x)=2x e Q(x)=x. Calculamos o fator integrante
\mu(x) = \exp\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) = \exp\Bigl(\int 2x\,dx\Bigr) = \exp\bigl(x^2\bigr).

Passo 3

Multiplicamos a EDO original por \mu(x):
e^{x^2}\frac{dy}{dx} + 2x\,e^{x^2}y = x\,e^{x^2}.
O lado esquerdo é a derivada de e^{x^2}y, isto é,
\frac{d}{dx}\bigl(e^{x^2}y\bigr) = x\,e^{x^2}.

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\bigl(e^{x^2}y\bigr)\,dx = \int x\,e^{x^2}\,dx.
No segundo integral, use a substituição u=x^2, du=2x\,dx, obtendo
\int x\,e^{x^2}\,dx = \tfrac12\,e^{x^2}.
Logo
e^{x^2}y = \tfrac12\,e^{x^2} + C
e, dividindo por e^{x^2}, a solução geral é
y(x) = \tfrac12 + C\,e^{-x^2}.

Passo 5

Aplicamos a condição inicial y(0)=-3:
-3 = y(0) = \tfrac12 + C\,e^{0} = \tfrac12 + C \quad\Longrightarrow\quad C = -3 - \tfrac12 = -\tfrac{7}{2}.
Substituindo em y(x), obtemos a solução particular.

Resposta

y(x) = \frac12 \;-\;\frac{7}{2}\,e^{-x^2}.

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