EDOs Lineares, passíveis de resolução pelo fator integrante. Verifiquem se é possível.
3)
\frac{d y}{d x}=\tan x \cdot y+\cos x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO
\frac{dy}{dx} = \tan x \cdot y + \cos x
que é uma equação linear de primeira ordem. Para isso vamos usar o método do fator integrante: escrevemos a equação em y' + p(x)y = q(x), calculamos \mu(x)=e^{\int p(x)\,dx}, multiplicamos tudo por \mu(x) e reconhecemos uma derivada de produto.

Passo 2

Colocando em forma padrão temos
\frac{dy}{dx} - \tan x\,y = \cos x,
logo p(x) = -\tan x e q(x) = \cos x.

Passo 3

O fator integrante é
\mu(x) = e^{\int p(x)\,dx} = e^{\int -\tan x\,dx} = e^{\ln(\cos x)} = \cos x.

Passo 4

Multiplicando a EDO por \mu(x)=\cos x obtemos
\cos x\,\frac{dy}{dx} - \cos x\,\tan x\,y = \cos^2 x.
Como \cos x\tan x=\sin x, o lado esquerdo é
\cos x\,\frac{dy}{dx} - \sin x\,y = \frac{d}{dx}\bigl(\cos x\,y\bigr).

Passo 5

Integrando ambos os lados:
\frac{d}{dx}(\cos x\,y) = \cos^2 x \quad\Longrightarrow\quad \cos x\,y = \int \cos^2 x\,dx = \int \frac{1+\cos2x}{2}\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin2x}{4} + C.

Passo 6

Isolando y:
y = \frac{1}{\cos x}\Bigl(\frac{x}{2} + \frac{\sin2x}{4} + C\Bigr).
Usando \sin2x=2\sin x\cos x
\frac{\sin2x}{4\cos x} = \frac{\sin x}{2},
então
y = \frac{x}{2\cos x} + \frac{\sin x}{2} + C\operatorname{sec} x.

Resposta

y(x) = \dfrac{x}{2\cos x} + \dfrac{\sin x}{2} + C\operatorname{sec} x.

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