EDOs Lineares, passíveis de resolução pelo fator integrante. Verifiquem se é possível.
\frac{d y}{d x}-\frac{y}{x}=x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a EDO da forma
\frac{dy}{dx}-\frac{1}{x}y = x
que é uma equação linear de primeira ordem. Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Colocamos a EDO no formato padrão
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x)
aqui identificamos
P(x) = -\frac{1}{x} \quad\text{e}\quad Q(x) = x.

Passo 3

O fator integrante é
\mu(x) = \exp\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) = \exp\Bigl(\int -\tfrac{1}{x}\,dx\Bigr) = \exp(-\ln\lvert x\rvert) = \frac{1}{x}.

Passo 4

Multiplicamos a EDO original por \mu(x)=1/x, obtendo
\frac{1}{x}\,\frac{dy}{dx} \;-\;\frac{1}{x^2}\,y \;=\; \frac{x}{x} \;\;\Longrightarrow\;\; \frac{1}{x}\,\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x^2}\,y = 1.

Passo 5

Reconhecemos o lado esquerdo como derivada do produto \mu(x)\,y = y/x:
\frac{d}{dx}\!\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr) = \frac{1}{x}\,\frac{dy}{dx} - \frac{1}{x^2}\,y.
Logo a equação vira
\frac{d}{dx}\!\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr) = 1.
Integrando em x:
\int \frac{d}{dx}\!\Bigl(\frac{y}{x}\Bigr)\,dx = \int 1\,dx \quad\Longrightarrow\quad \frac{y}{x} = x + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 6

Isolando y, obtemos
y = x\,(x + C) = x^2 + C\,x.

Resposta

y = x^2 + C\,x

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