EDOs Lineares, passíveis de resolução pelo fator integrante. Verifiquem se é possível.
\frac{d y}{d x}=\tan x \cdot y+\cos x

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial de primeira ordem
\frac{dy}{dx} = \tan x \cdot y + \cos x
que é linear em y. Vamos resolvê-la usando o método do fator integrante.

Passo 2

Colocamos a equação na forma padrão
\frac{dy}{dx} - \tan x\,y = \cos x
Aqui P(x) = -\tan x e Q(x)=\cos x.

Passo 3

O fator integrante é
\mu(x) = \exp\Bigl(\int P(x)\,dx\Bigr) = \exp\Bigl(\int -\tan x\,dx\Bigr).
Como \int \tan x\,dx = -\ln|\cos x|, temos
\int -\tan x\,dx = \ln|\cos x|
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\mu(x) = e^{\ln|\cos x|} = \cos x.

Passo 4

Multiplicamos a equação padrão por \mu(x)=\cos x:
\cos x\,\frac{dy}{dx} - \sin x\,y = \cos^2 x.
O lado esquerdo é exatamente a derivada do produto y\cos x, pois
\frac{d}{dx}\bigl(y\cos x\bigr) = \cos x\,\frac{dy}{dx} - y\,\sin x.

Passo 5

Integrando ambos os lados em relação a x:
y\cos x = \int \cos^2 x\,dx + C.
Usamos a identidade \cos^2 x = \tfrac{1+\cos2x}{2} para obter
\int \cos^2 x\,dx = \int \frac{1+\cos2x}{2}\,dx = \frac{x}{2} + \frac{\sin2x}{4} + C.

Passo 6

Isolando y:
y = \frac{1}{\cos x}\Bigl(\frac{x}{2} + \frac{\sin2x}{4} + C\Bigr).
Como \sin2x/4 = \tfrac{2\sin x\cos x}{4} = \tfrac{1}{2}\sin x\cos x, segue
y = \frac{x}{2\cos x} + \frac{1}{2}\sin x + C\,\operatorname{sec} x.

Resposta

y(x) = \frac{x}{2\cos x} + \frac{1}{2}\sin x + C\,\operatorname{sec} x.

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