1. EDOs de ordem superior e modelagem
    Problema 7 ( 3^{\text {a }}) ordem com raiz repetida). Resolva
y^{\prime \prime \prime}-3 y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}-y=0 .
(a) Encontre o polinômio característico. (b) Mostre que ele tem raiz tripla. (c) Escreva a solução geral. (d) Comente o que acontece com y(t) quando $t \rightarrow \infty.

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de terceira ordem com coeficientes constantes
y^{\prime\prime\prime}-3y^{\prime\prime}+3y^{\prime}-y=0
e pede, em partes: (a) encontrar o polinômio característico; (b) mostrar que ele tem raiz tripla; (c) escrever a solução geral; (d) comentar o que acontece com y(t) quando t\to\infty.
As informações relevantes: a equação é homogênea, linear e de coeficientes constantes; não há termos não-homogêneos nem condições iniciais fornecidas.

Passo 2

Formando o polinômio característico: na técnica padrão para EDOs lineares homogêneas com coeficientes constantes, substituímos as derivadas por potências de uma variável r: y^{(k)}\mapsto r^{k}. Aplicando isso à equação dada obtemos o polinômio característico
r^{3}-3r^{2}+3r-1.
Esse polinômio é obtido diretamente trocando cada y^{(k)} por r^{k} e escrevendo o polinômio resultante.

Passo 3

Mostrar que o polinômio tem raiz tripla: observe que o polinômio acima é exatamente a expansão de (r-1)^{3}. De fato,
(r-1)^{3}=r^{3}-3r^{2}+3r-1.
Portanto o polinômio característico fatoriza como (r-1)^{3}, o que significa que r=1 é uma raiz de multiplicidade 3 (ou seja, raiz tripla).

Passo 4

Explicação didática sobre a forma da solução quando há raiz repetida: se o operador diferencial linear tem fator (D-r)^{m} (onde D=\dfrac{d}{dt}) então funções da forma t^{k}e^{rt}, com k=0,1,\dots,m-1, são soluções. A ideia rápida: calcular (D-r)(t^{k}e^{rt}). Usando produto e que \dfrac{d}{dt}(e^{rt})=r e^{rt}, obtemos
(D-r)(t^{k}e^{rt})=k\,t^{k-1}e^{rt}.
Aplicando (D-r) repetidas vezes, cada aplicação reduz o expoente do polinômio em t em 1; depois de k aplicações obtemos uma constante vezes e^{rt}, e após m aplicações (se k\le m-1) chega-se a zero. Assim (D-r)^{m}(t^{k}e^{rt})=0 para k=0,\dots,m-1, provando que essas funções são soluções da equação associada. Isso explica porque, para raiz de multiplicidade m, precisamos das m soluções linearmente independentes e^{rt},\,te^{rt},\dots,t^{m-1}e^{rt}.

Passo 5

Aplicando a regra ao nosso caso ( r=1, multiplicidade m=3), as três soluções independentes são
e^{t},\quad t e^{t},\quad t^{2}e^{t}.
Logo a solução geral da EDO é combinação linear dessas soluções:
y(t)=\big(C_{1}+C_{2}t+C_{3}t^{2}\big)e^{t},
onde C_{1},C_{2},C_{3} são constantes arbitrárias. Para garantir linearidade independente das três funções acima podemos verificar o Wronskiano; por exemplo avaliando em t=0 (detalhe rápido): o Wronskiano é W(t)=e^{3t}\det B(t) e \det B(0)=2\neq0, então W(0)\neq0 e as funções são linearmente independentes em todo intervalo real.

Passo 6

Comportamento quando t\to\infty: como e^{t} cresce exponencialmente, qualquer solução não-trivial vai divergir em magnitude exponencialmente quando t\to\infty. Mais precisamente:
  • Se C_{3}\neq0, então y(t)\sim C_{3}t^{2}e^{t} quando t\to\infty, logo |y(t)|\to\infty e o sinal segue o sinal de C_{3} para t grande.
  • Se C_{3}=0 mas C_{2}\neq0, então y(t)\sim C_{2}t e^{t} e também diverge exponencialmente.
  • Se C_{3}=C_{2}=0 e C_{1}\neq0, então y(t)=C_{1}e^{t} e diverge exponencialmente.
    A única solução que permanece limitada (na verdade que tende a 0) é a solução trivial C_{1}=C_{2}=C_{3}=0. Portanto, salvo a solução trivial, y(t) diverge quando t\to\infty.

Resposta

(a) r^{3}-3r^{2}+3r-1.
(b) Tem raiz tripla r=1 (pois r^{3}-3r^{2}+3r-1=(r-1)^{3}).
(c) y(t)=\big(C_{1}+C_{2}t+C_{3}t^{2}\big)e^{t}.
(d) Salvo a solução trivial C_{1}=C_{2}=C_{3}=0, y(t) diverge exponencialmente quando t\to\infty (com comportamento assintótico dominado por C_{3}t^{2}e^{t}, se C_{3}\neq0).

Exercícios relacionados