- EDOs de ordem superior e modelagem
Problema 7 (
) ordem com raiz repetida). Resolva
(a) Encontre o polinômio característico. (b) Mostre que ele tem raiz tripla. (c) Escreva a solução geral. (d) Comente o que acontece com
quando $t \rightarrow \infty.
Problema 7 (
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de terceira ordem com coeficientes constantes
e pede, em partes: (a) encontrar o polinômio característico; (b) mostrar que ele tem raiz tripla; (c) escrever a solução geral; (d) comentar o que acontece com
quando
.
As informações relevantes: a equação é homogênea, linear e de coeficientes constantes; não há termos não-homogêneos nem condições iniciais fornecidas.
As informações relevantes: a equação é homogênea, linear e de coeficientes constantes; não há termos não-homogêneos nem condições iniciais fornecidas.
Passo 2
Formando o polinômio característico: na técnica padrão para EDOs lineares homogêneas com coeficientes constantes, substituímos as derivadas por potências de uma variável
:
. Aplicando isso à equação dada obtemos o polinômio característico
Esse polinômio é obtido diretamente trocando cada
por
e escrevendo o polinômio resultante.
Passo 3
Mostrar que o polinômio tem raiz tripla: observe que o polinômio acima é exatamente a expansão de
. De fato,
Portanto o polinômio característico fatoriza como
, o que significa que
é uma raiz de multiplicidade
(ou seja, raiz tripla).
Passo 4
Explicação didática sobre a forma da solução quando há raiz repetida: se o operador diferencial linear tem fator
(onde
) então funções da forma
, com
, são soluções. A ideia rápida: calcular
. Usando produto e que
, obtemos
Aplicando
repetidas vezes, cada aplicação reduz o expoente do polinômio em
em
; depois de
aplicações obtemos uma constante vezes
, e após
aplicações (se
) chega-se a zero. Assim
para
, provando que essas funções são soluções da equação associada. Isso explica porque, para raiz de multiplicidade
, precisamos das
soluções linearmente independentes
.
Passo 5
Aplicando a regra ao nosso caso (
, multiplicidade
), as três soluções independentes são
Logo a solução geral da EDO é combinação linear dessas soluções:
onde
são constantes arbitrárias. Para garantir linearidade independente das três funções acima podemos verificar o Wronskiano; por exemplo avaliando em
(detalhe rápido): o Wronskiano é
e
, então
e as funções são linearmente independentes em todo intervalo real.
Passo 6
Comportamento quando
: como
cresce exponencialmente, qualquer solução não-trivial vai divergir em magnitude exponencialmente quando
. Mais precisamente:
- Se
, então quando , logo e o sinal segue o sinal de para grande. - Se
mas , então e também diverge exponencialmente. - Se
e , então e diverge exponencialmente.
A única solução que permanece limitada (na verdade que tende a) é a solução trivial . Portanto, salvo a solução trivial, diverge quando .
Resposta
(a)
.
(b) Tem raiz tripla (pois
).
(c) .
(d) Salvo a solução trivial ,
diverge exponencialmente quando
(com comportamento assintótico dominado por
, se
).
(b) Tem raiz tripla
(c)
(d) Salvo a solução trivial