Problema 8 ( 4^{\underline{\text { a }}}) ordem com pares complexos). Resolva
y^{(4)}+2 y^{\prime \prime}+y=0
(a) Faça r^{4}+2 r^{2}+1=0 e encontre as raízes. (b) Escreva a solução geral. (c) Diga se há termos oscilatórios, exponenciais ou ambos.

Passo 1

Enunciado dado: resolver a equação diferencial
y^{(4)}+2y''+y=0.
O que se pede:
(a) Formar o polinômio característico \;r^{4}+2r^{2}+1=0\; e encontrar as suas raízes.
(b) Escrever a solução geral da equação diferencial real.
(c) Dizer se a solução contém termos oscilatórios, exponenciais ou ambos.
Informações úteis fornecidas pelo enunciado: é uma equação homogênea com derivadas de até quarta ordem; não há termos não-homogêneos nem coeficientes dependentes de t.

Passo 2

Método: tentar uma solução da forma \;y(t)=e^{rt}\;. Explico por que: quando substituímos y=e^{rt} nas derivadas, cada derivada traz um fator r, por exemplo y' = r e^{rt}, y'' = r^{2} e^{rt}, etc. Como todas as parcelas contêm e^{rt}, podemos dividir por e^{rt} (que nunca é zero) e obter um polinômio em r. Esse polinômio chama-se polinômio característico e suas raízes determinam as soluções do tipo exponencial. Faço a substituição:
y=e^{rt}\implies y' = r e^{rt},\quad y''=r^{2}e^{rt},\quad y^{(4)}=r^{4}e^{rt}.
Substituindo em \;y^{(4)}+2y''+y=0\; e dividindo por e^{rt} obtemos o polinômio característico
r^{4}+2r^{2}+1=0.

Passo 3

Resolver o polinômio característico. Observação: esse polinômio é uma quadrática em r^{2}. Faço a mudança s=r^{2}. Então
s^{2}+2s+1=0.
Essa equação é um quadrado perfeito, pois (s+1)^{2}=s^{2}+2s+1. Logo
(s+1)^{2}=0 \implies s=-1\\ \text{(raiz dupla)}.
Voltando a r, temos r^{2}=-1, então
r=\pm i.
Como s=-1 é raiz dupla, cada um dos valores r=i e r=-i aparece com multiplicidade 2. Podemos também fatorar o característico como
r^{4}+2r^{2}+1=(r^{2}+1)^{2}=(r-i)^{2}(r+i)^{2}.

Passo 4

Construir a solução geral complexa e passar para a solução real. Para raízes complexas r=a\pm i b com multiplicidade m, as soluções complexas associadas são e^{(a+ib)t},\, t e^{(a+ib)t},\dots,t^{m-1}e^{(a+ib)t} e suas conjugadas. No nosso caso a=0 e b=1, com multiplicidade m=2. Assim as soluções complexas independentes são
e^{it},\quad te^{it},\quad e^{-it},\quad te^{-it}.
Usando a fórmula de Euler e^{it}=\cos t + i\sin t e combinando soluções complexas conjugadas para obter soluções reais, obtemos que combinações lineares reais dessas quatro soluções geram as funções
\cos t,\quad \sin t,\quad t\cos t,\quad t\sin t.
Portanto a solução geral real (com quatro constantes arbitrárias) é
y(t)=(C_{1}+C_{2}t)\cos t + (C_{3}+C_{4}t)\sin t,
onde C_{1},C_{2},C_{3},C_{4} são constantes reais arbitrárias. Explico brevemente: as constantes correspondem ao espaço de soluções de dimensão 4 (ordem 4 da EDO); termos em t aparecem porque as raízes complexas têm multiplicidade 2, e multiplicidade maior que 1 gera fatores polinomiais em t multiplicando as exponenciais.

Passo 5

Identificação dos tipos de termos na solução. Observando a forma
y(t)=(C_{1}+C_{2}t)\cos t + (C_{3}+C_{4}t)\sin t,
vemos que os fatores essenciais são \cos t e \sin t (componentes oscilatórias). Não aparecem fatores e^{at} com a\neq 0 multiplicando essas funções; o caso a=0 corresponde a e^{0t}=1, que não produz crescimento ou decaimento exponencial. Os fatores em t são polinomiais (de grau até 1) e não são exponenciais. Portanto temos termos estritamente oscilatórios (possivelmente multiplicados por polinômios em t), sem crescimento/decadência exponencial.

Resposta

(a) (r^{2}+1)^{2}=0, logo r=\pm i com multiplicidade 2.
(b) \;y(t)=(C_{1}+C_{2}t)\cos t + (C_{3}+C_{4}t)\sin t\;, com C_{1},C_{2},C_{3},C_{4}\in\mathbb{R}.
(c) Há apenas termos oscilatórios (seno e cosseno), possivelmente multiplicados por polinômios em t; não há termos exponenciais e^{at} com a\neq0.

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