Problema 11 (modelagem - circuito RLC série). Um circuito série composto por resistência
, indutância
e capacitância
é alimentado por uma fonte de tensão
. A carga no capacitor é
e a corrente é
. Mostre que
satisfaz a EDO
(a) Faça a dedução a partir das leis de Kirchhoff. (b) Para o caso
e
, escreva a EDO concreta. (c) Classifique o regime (subamortecido, crítico ou superamortecido) do sistema homogêneo associado.
Passo 1
O enunciado pede três coisas:
(a) deduzir, a partir das leis de Kirchhoff, a equação diferencial que a carga no capacitor satisfaz;
(b) para os valores ,
,
e
, escrever a EDO concreta;
(c) classificar o regime do sistema homogêneo associado (subamortecido, crítico ou superamortecido).
(a) deduzir, a partir das leis de Kirchhoff, a equação diferencial que a carga
(b) para os valores
(c) classificar o regime do sistema homogêneo associado (subamortecido, crítico ou superamortecido).
Informações dadas e definições relevantes que vamos usar:
- O circuito é série com resistência
, indutância e capacitância . - A carga no capacitor é
. - A corrente é
. - A fonte fornece tensão
.
Não vamos resolver nada ainda; apenas identificamos o que é pedido e quais dados temos.
Passo 2
Apresento a lei de Kirchhoff de tensões (KVL) que usamos aqui: em uma malha fechada a soma algébrica das quedas de tensão é igual à tensão fornecida pela fonte. Como o circuito é série, a soma das tensões nos elementos
,
e
deve ser igual a
. Escrevemos então, simbolicamente,
Agora precisamos escrever
,
e
em função de
e suas derivadas.
Passo 3
Tensão no resistor (Ohm): a lei de Ohm diz que a queda de tensão no resistor é a resistência vezes a corrente. Como a corrente é
, temos
Explicação didática: resistência converte corrente em queda de tensão linearmente; cada símbolo significa:
é a resistência (em ohms),
a corrente (em ampères) e
é a derivada da carga (porque corrente é variação de carga).
Passo 4
Tensão no indutor: a tensão em um indutor é proporcional à derivada temporal da corrente. A relação é
Substituindo
obtemos
Explicação didática: indutância
mede “resistência” à variação de corrente; por isso aparece a derivada
.
tem unidade Henry.
Passo 5
Tensão no capacitor: a carga
no capacitor está relacionada à tensão
por
. Assim,
Explicação didática: capacitância
mede quanto de carga cabe por unidade de tensão; rearranjando
obtemos
.
Passo 6
Agora juntamos as três expressões na equação de Kirchhoff escrita no Passo 2:
Esta é exatamente a EDO pedida. Comentário didático: cada termo tem interpretação física —
está ligado à inércia elétrica (indutor),
é amortecimento (resistor) e
é o termo elástico da capacitância.
Passo 7
Parte (b): substituímos os valores numéricos dados. Primeiro calculemos
:
Com
,
e
, a EDO fica
Explicação: como
o coeficiente de
fica 1, simplificando a equação.
Passo 8
Parte (c): classificar o regime do sistema homogêneo associado. O sistema homogêneo é obtido anulando o termo forçante
, ou seja
Formamos a equação característica associada, substituindo
:
Calculemos o discriminante
:
Como
, as raízes são complexas conjugadas, o que corresponde ao regime subamortecido (oscilatório amortecido). Podemos até escrever as raízes:
Interpretação didática: raiz com parte real negativa (
) indica decaimento exponencial; parte imaginária (
) indica oscilação. Portanto o sistema é subamortecido (regime oscilatório com amortecimento).
Resposta
(a)
(b)
(c) subamortecido