Problema 11 (modelagem - circuito RLC série). Um circuito série composto por resistência R, indutância L e capacitância C é alimentado por uma fonte de tensão E(t). A carga no capacitor é q(t) e a corrente é i(t)=q^{\prime}(t). Mostre que q(t) satisfaz a EDO
L q^{\prime \prime}(t)+R q^{\prime}(t)+\frac{1}{C} q(t)=E(t)
(a) Faça a dedução a partir das leis de Kirchhoff. (b) Para o caso L=1 \mathrm{H}, R= 4 \Omega, C=\frac{1}{5} \mathrm{~F} e E(t)=10 \sin t, escreva a EDO concreta. (c) Classifique o regime (subamortecido, crítico ou superamortecido) do sistema homogêneo associado.

Passo 1

O enunciado pede três coisas:
(a) deduzir, a partir das leis de Kirchhoff, a equação diferencial que a carga q(t) no capacitor satisfaz;
(b) para os valores L=1\\ \mathrm{H}, R=4\\ \Omega, C=\tfrac{1}{5}\\ \mathrm{F} e E(t)=10\sin t, escrever a EDO concreta;
(c) classificar o regime do sistema homogêneo associado (subamortecido, crítico ou superamortecido).
Informações dadas e definições relevantes que vamos usar:
  • O circuito é série com resistência R, indutância L e capacitância C.
  • A carga no capacitor é q(t).
  • A corrente é i(t)=q'(t).
  • A fonte fornece tensão E(t).
Não vamos resolver nada ainda; apenas identificamos o que é pedido e quais dados temos.

Passo 2

Apresento a lei de Kirchhoff de tensões (KVL) que usamos aqui: em uma malha fechada a soma algébrica das quedas de tensão é igual à tensão fornecida pela fonte. Como o circuito é série, a soma das tensões nos elementos L, R e C deve ser igual a E(t). Escrevemos então, simbolicamente,
V_L(t)+V_R(t)+V_C(t)=E(t).
Agora precisamos escrever V_L, V_R e V_C em função de q(t) e suas derivadas.

Passo 3

Tensão no resistor (Ohm): a lei de Ohm diz que a queda de tensão no resistor é a resistência vezes a corrente. Como a corrente é i(t)=q'(t), temos
V_R(t)=R\,i(t)=R\,q'(t).
Explicação didática: resistência converte corrente em queda de tensão linearmente; cada símbolo significa: R é a resistência (em ohms), i(t) a corrente (em ampères) e q'(t) é a derivada da carga (porque corrente é variação de carga).

Passo 4

Tensão no indutor: a tensão em um indutor é proporcional à derivada temporal da corrente. A relação é
V_L(t)=L\,\frac{d i}{d t}(t).
Substituindo i(t)=q'(t) obtemos
V_L(t)=L\,q''(t).
Explicação didática: indutância L mede “resistência” à variação de corrente; por isso aparece a derivada di/dt. L tem unidade Henry.

Passo 5

Tensão no capacitor: a carga q no capacitor está relacionada à tensão V_C por q=C\,V_C. Assim,
V_C(t)=\frac{q(t)}{C}.
Explicação didática: capacitância C mede quanto de carga cabe por unidade de tensão; rearranjando q=C V_C obtemos V_C=q/C.

Passo 6

Agora juntamos as três expressões na equação de Kirchhoff escrita no Passo 2:
L\,q''(t) + R\,q'(t) + \frac{q(t)}{C} = E(t).
Esta é exatamente a EDO pedida. Comentário didático: cada termo tem interpretação física — L q'' está ligado à inércia elétrica (indutor), R q' é amortecimento (resistor) e \tfrac{1}{C}q é o termo elástico da capacitância.

Passo 7

Parte (b): substituímos os valores numéricos dados. Primeiro calculemos \tfrac{1}{C}:
C=\tfrac{1}{5}\\ \Rightarrow\\ \frac{1}{C}=5.
Com L=1, R=4 e E(t)=10\sin t, a EDO fica
q''(t)+4\,q'(t)+5\,q(t)=10\sin t.
Explicação: como L=1 o coeficiente de q'' fica 1, simplificando a equação.

Passo 8

Parte (c): classificar o regime do sistema homogêneo associado. O sistema homogêneo é obtido anulando o termo forçante E(t), ou seja
q''(t)+4\,q'(t)+5\,q(t)=0.
Formamos a equação característica associada, substituindo q(t)\sim e^{r t}:
r^{2}+4r+5=0.
Calculemos o discriminante \Delta:
\Delta = 4^{2}-4\cdot1\cdot5 = 16-20 = -4.
Como \Delta<0, as raízes são complexas conjugadas, o que corresponde ao regime subamortecido (oscilatório amortecido). Podemos até escrever as raízes:
r = \frac{-4\pm\sqrt{-4}}{2} = -2\pm i.
Interpretação didática: raiz com parte real negativa ( -2) indica decaimento exponencial; parte imaginária ( \pm 1) indica oscilação. Portanto o sistema é subamortecido (regime oscilatório com amortecimento).

Resposta

(a) L\,q''(t)+R\,q'(t)+\frac{1}{C}\,q(t)=E(t)
(b) q''(t)+4\,q'(t)+5\,q(t)=10\sin t
(c) subamortecido

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