EDOs de segunda ordem lineares(Coeficientes constantes).
Determine a solução geral das equações diferenciais:
Determine a solução geral das equações diferenciais:
Passo 1
O enunciado pede a solução geral da EDO
Isso é uma equação linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver vamos usar o princípio de superposição:
- encontrar a solução homogênea
da equação
- achar uma solução particular
para o termo e outra para o termo .
A solução geral será
Passo 2
Resolvendo a homogênea
; temos a equação característica
O discriminante é
, logo a raiz é dupla
. Assim
Passo 3
Para a parte
, tentamos
Então
Substituindo em
:
Para igualar a
basta
. Logo
Passo 4
Para a parte
, tentamos
Então
Substituindo em
:
Queremos isso igual a
, ou seja
Da primeira vem
. Substituindo na segunda:
então
Logo
Passo 5
Pelo princípio de superposição, a solução geral da equação original é