EDOs de segunda ordem lineares(Coeficientes constantes).
Determine a solução geral das equações diferenciais:
y^{\prime \prime}-4 y^{\prime}+3 y=x^{2}+e^{-x}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO de segunda ordem linear com coeficientes constantes
y'' - 4y' + 3y = x^{2} + e^{-x}
Vamos usar duas etapas principais: achar a solução homogênea (resolvendo a equação característica) e encontrar uma solução particular pela técnica de coeficientes indeterminados para cada termo do lado direito (polinomial e exponencial).

Passo 2

Para a solução homogênea consideramos
y_{h}'' - 4y_{h}' + 3y_{h} = 0
e montamos a equação característica
r^{2} - 4r + 3 = 0.
Suas raízes são r=1 e r=3, logo
y_{h} = C_{1}e^{x} + C_{2}e^{3x}.

Passo 3

Para a parte polinomial x^{2} tentamos uma solução do tipo
y_{p1} = Ax^{2} + Bx + C.
Calculando as derivadas:
y_{p1}' = 2Ax + B, \quad y_{p1}'' = 2A,
e substituindo em y'' - 4y' + 3y = x^{2}
2A - 4(2Ax + B) + 3(Ax^{2} + Bx + C) = x^{2}.
Agrupando termos resulta em
3A\,x^{2} +(-8A + 3B)\,x + (2A - 4B + 3C) = x^{2}.
Igualando coeficientes obtemos o sistema
3A = 1,\quad -8A + 3B = 0,\quad 2A - 4B + 3C = 0,
cuja solução é A = \tfrac{1}{3}, B = \tfrac{8}{9} e C = \tfrac{26}{27}. Portanto
y_{p1} = \frac{1}{3}x^{2} + \frac{8}{9}x + \frac{26}{27}.

Passo 4

Para o termo e^{-x} usamos um palpite da forma
y_{p2} = D\,e^{-x}.
Temos
y_{p2}' = -D\,e^{-x}, \quad y_{p2}'' = D\,e^{-x},
e ao substituir em y'' - 4y' + 3y = e^{-x} chega-se a
D e^{-x} - 4(-D e^{-x}) + 3(D e^{-x}) = 8D\,e^{-x} = e^{-x}.
Logo 8D = 1 e D = \tfrac{1}{8}, de modo que
y_{p2} = \frac{1}{8}e^{-x}.

Passo 5

A solução geral é a soma da homogênea com as duas parciais:
y(x) = C_{1}e^{x} + C_{2}e^{3x} + \frac{1}{3}x^{2} + \frac{8}{9}x + \frac{26}{27} + \frac{1}{8}e^{-x}.

Resposta

y(x) = C_{1}e^{x} + C_{2}e^{3x} + \frac{1}{3}x^{2} + \frac{8}{9}x + \frac{26}{27} + \frac{1}{8}e^{-x}.

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