EDOs de segunda ordem lineares(Coeficientes constantes).
Determine a solução geral das equações diferenciais:
y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+2 y=x \sin (x)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial linear de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' + 3y' + 2y = x\sin(x).
O método envolve dois blocos: primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada, depois obtemos uma solução particular para a parte não homogênea x\sin(x).

Passo 2

Resolvendo a homogênea
y'' + 3y' + 2y = 0,
usamos a equação característica
r^2 + 3r + 2 = 0 \quad\Longrightarrow\quad (r+1)(r+2)=0,
de onde r=-1 e r=-2. Logo a solução geral da homogênea é
y_h = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x}.

Passo 3

Para a parte não homogênea x\sin(x), fazemos o ansatz
y_p = (Ax + B)\sin(x) + (Cx + D)\cos(x),
onde A,B,C,D são constantes a determinar. Calculamos
y_p' = (-Cx + A - D)\,\sin(x) + (Ax + B + C)\,\cos(x),
y_p'' = -(Ax + B + 2C)\,\sin(x) + (-Cx + 2A - D)\,\cos(x).

Passo 4

Substituímos y_p\), \(y_p'\) e \(y_p''\) em \[y''+3y'+2y = x\sin(x),
e igualamos coeficientes de \sin(x) e \cos(x). Isso gera o sistema
\begin{cases} A - 3C = 1,\\\\ 3A + B - 2C - 3D = 0,\\\\ 3A + C = 0,\\\\ 2A + 3B + 3C + D = 0. \end{cases}
Da terceira equação vem (C=-3A]. Substituindo nas outras, obtemos
A=\tfrac1{10},\quad C=-\tfrac3{10},\quad B=\tfrac3{25},\quad D=\tfrac{17}{50}.
Portanto
y_p = \Bigl(\tfrac{1}{10}x + \tfrac{3}{25}\Bigr)\sin(x) +\Bigl(-\tfrac{3}{10}x + \tfrac{17}{50}\Bigr)\cos(x).

Resposta

A solução geral é
y(x) = C_1 e^{-x} + C_2 e^{-2x} + \Bigl(\tfrac{1}{10}x + \tfrac{3}{25}\Bigr)\sin(x) +\Bigl(-\tfrac{3}{10}x + \tfrac{17}{50}\Bigr)\cos(x).

Exercícios relacionados