EDOs de segunda ordem lineares(Coeficientes constantes).
Determine a solução geral das equações diferenciais:
Determine a solução geral das equações diferenciais:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial linear não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
O conteúdo aqui é “EDO lineares de segunda ordem com coeficientes constantes” e vamos aplicar o método de “solução complementar + solução particular” usando coeficientes não determinados, pois o termo não homogêneo é um polinômio em
multiplicado por
.
Passo 2
Para obter a solução complementar
, resolvemos a equação característica associada à parte homogênea
As raízes são
logo
Passo 3
Como o termo não homogêneo é
e os complexos
não são raízes da equação característica, usamos o ansatz
onde
e
são polinômios de grau 2:
Passo 4
Calculamos as derivadas e substituímos em
, agrupamos os coeficientes de
e
e igualamos respectivamente a
e a
. Isso gera o sistema linear para
:
Passo 5
Resolvendo esse sistema obtemos
Logo
Passo 6
A solução particular fica
Portanto, a solução geral é