EDOs de segunda ordem lineares(Coeficientes constantes).
Determine a solução geral das equações diferenciais:
y^{\prime \prime}+4 y^{\prime}+5 y=e^{x}+x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem linear com coeficientes constantes
y'' + 4y' + 5y = e^x + x.
O procedimento geral é: (i) encontrar a solução da homogênea, (ii) achar uma solução particular para cada termo do lado direito e (iii) somar tudo.

Passo 2

Começamos pela homogênea
y'' + 4y' + 5y = 0.
O polinômio característico é
r^2 + 4r + 5 = 0,
cuja resolução dá
r = -2 \pm i.
Logo a solução geral da parte homogênea é
y_h = e^{-2x}\bigl(C_1\cos x + C_2\sin x\bigr).

Passo 3

Agora buscamos uma solução particular para o termo e^x. Tentamos
y_{p1} = A e^x.
Calculando as derivadas:
y'_{p1} = A e^x,\quad y''_{p1}=A e^x,
e substituindo na equação original:
A e^x + 4A e^x + 5A e^x = e^x \quad\Longrightarrow\quad 10A e^x = e^x \quad\Longrightarrow\quad A = \tfrac{1}{10}.
Portanto
y_{p1} = \tfrac{1}{10}e^x.

Passo 4

Em seguida, tratamos o termo polinomial x. Fazemos o palpite
y_{p2} = ax + b.
Então
y'_{p2} = a,\quad y''_{p2}=0,
e a equação vira
0 + 4a + 5(ax+b) = x \quad\Longrightarrow\quad 5a\,x + (4a+5b) = x.
Comparando coeficientes:
5a = 1 \implies a = \tfrac{1}{5}, \quad 4a + 5b = 0 \implies 4\cdot\tfrac{1}{5} + 5b = 0 \implies b = -\tfrac{4}{25}.
Assim
y_{p2} = \tfrac{1}{5}x - \tfrac{4}{25}.

Passo 5

A solução geral da equação completa é a soma da homogênea com as particulares:
y = y_h + y_{p1} + y_{p2} = e^{-2x}\bigl(C_1\cos x + C_2\sin x\bigr) + \tfrac{1}{10}e^x + \tfrac{1}{5}x - \tfrac{4}{25}.

Resposta

A solução geral é
y = e^{-2x}\bigl(C_1\cos x + C_2\sin x\bigr) + \frac{1}{10}e^x + \frac{1}{5}x - \frac{4}{25}.

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