EDOs de segunda ordem lineares(Coeficientes constantes).
Determine a solução geral das equações diferenciais:
y^{\prime \prime}-5 y^{\prime}+4 y=x^{3}+\sin (x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes
y''-5y'+4y = x^3 + \sin(x).
O método que vamos usar é o da superposição: primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada e depois adicionamos uma solução particular para a parte não homogênea, que é x^3+\sin(x).

Passo 2

Para a parte homogênea
y''-5y'+4y=0
associamos a equação característica
r^2 - 5r + 4 = 0.
As raízes são
r = 1 \quad\text{e}\quad r = 4.
Logo a solução geral da homogênea é
y_h = C_1 e^x + C_2 e^{4x},
onde C_1 e C_2 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Para a parte polinomial x^3 usamos o palpite
y_{p1} = ax^3 + bx^2 + cx + d.
Calculamos
y_{p1}' = 3ax^2 + 2bx + c, \qquad y_{p1}'' = 6ax + 2b
e substituímos em y''-5y'+4y. Após agrupar termos em x^3, x^2, x, 1 e igualar a x^3, obtemos o sistema para a,b,c,d. A solução é
a = \tfrac14, \quad b = \tfrac{15}{16}, \quad c = \tfrac{63}{32}, \quad d = \tfrac{255}{128}.
Portanto
y_{p1} = \tfrac14 x^3 + \tfrac{15}{16}x^2 + \tfrac{63}{32}x + \tfrac{255}{128}.

Passo 4

Para a parte \sin(x) usamos o palpite
y_{p2} = E\cos(x) + F\sin(x).
Calculamos
y_{p2}' = -E\sin(x) + F\cos(x), \quad y_{p2}'' = -E\cos(x) - F\sin(x),
substituímos em y''-5y'+4y e igualamos ao lado direito \sin(x). Isso gera o sistema
3E - 5F = 0, \qquad 5E + 3F = 1,
cuja solução é
E = \tfrac{5}{34}, \quad F = \tfrac{3}{34}.
Assim
y_{p2} = \tfrac{5}{34}\cos(x) + \tfrac{3}{34}\sin(x).

Passo 5

Pela superposição, a solução geral da equação original é
y = y_h + y_{p1} + y_{p2} = C_1 e^x + C_2 e^{4x} + \tfrac14 x^3 + \tfrac{15}{16}x^2 + \tfrac{63}{32}x + \tfrac{255}{128} + \tfrac{5}{34}\cos(x) + \tfrac{3}{34}\sin(x).

Resposta

y = C_1 e^x + C_2 e^{4x} + \frac14 x^3 + \frac{15}{16}x^2 + \frac{63}{32}x + \frac{255}{128} + \frac{5}{34}\cos(x) + \frac{3}{34}\sin(x).

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