EDOs de segunda ordem lineares(Coeficientes constantes).
Determine a solução geral das equações diferenciais:
Determine a solução geral das equações diferenciais:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial de segunda ordem não homogênea com coeficientes constantes
O método que vamos usar é o da superposição: primeiro encontramos a solução geral da equação homogênea associada e depois adicionamos uma solução particular para a parte não homogênea, que é
.
Passo 2
Para a parte homogênea
associamos a equação característica
As raízes são
Logo a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Para a parte polinomial
usamos o palpite
Calculamos
e substituímos em
. Após agrupar termos em
e igualar a
, obtemos o sistema para
. A solução é
Portanto
Passo 4
Para a parte
usamos o palpite
Calculamos
substituímos em
e igualamos ao lado direito
. Isso gera o sistema
cuja solução é
Assim
Passo 5
Pela superposição, a solução geral da equação original é