EDOs de segunda ordem lineares(Coeficientes constantes).
Determine a solução geral das equações diferenciais:
y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+3 y=x \cos (x)+e^{2 x}

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da equação diferencial não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y''+3y'+3y = x\cos(x) + e^{2x}.
O método consiste em (i) resolver a equação homogênea associada e (ii) encontrar uma solução particular para o termo não homogêneo, somando ambas.

Passo 2

Resolvendo a homogênea
y''+3y'+3y=0
escrevemos a equação característica
r^2+3r+3=0,
cujos raízes são
r = \frac{-3\pm\sqrt{9-12}}{2} = -\frac32\pm \frac{\sqrt3}{2}i.
Logo a solução geral da parte homogênea é
y_h = e^{-3x/2}\Bigl(C_1\cos\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}x\bigr) + C_2\sin\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}x\bigr)\Bigr).

Passo 3

Buscando uma particular para x\cos x, usamos o ansatz
u_p(x) = (A x + B)\cos x + (C x + D)\sin x.
Calculamos u_p' e u_p'', obtemos
L[u_p]=u_p''+3u_p'+3u_p = \bigl((2A+3C)x + (3A+2C+3D+2B)\bigr)\cos x +\bigl((2C-3A)x +(-2A+3C+2D-3B)\bigr)\sin x.
Igualando a x\cos x dá o sistema
2A+3C=1,\quad 2C-3A=0,\quad 3A+2C+3D+2B=0,\quad -2A+3C+2D-3B=0,
cuja solução é
A=\frac{2}{13},\\ C=\frac{3}{13},\\ B=-\frac{9}{169},\\ D=-\frac{46}{169}.
Portanto
u_p(x)=\Bigl(\tfrac{2}{13}x-\tfrac{9}{169}\Bigr)\cos x + \Bigl(\tfrac{3}{13}x-\tfrac{46}{169}\Bigr)\sin x.

Passo 4

Para e^{2x}, usamos o ansatz
v_p(x)=E\,e^{2x},
de onde
L[v_p]=(4E+6E+3E)e^{2x}=13E\,e^{2x}\overset!=e^{2x}\quad\Rightarrow\quad E=\tfrac1{13}.
Assim
v_p(x)=\tfrac1{13}e^{2x}.

Passo 5

A solução geral é a soma da homogênea com as particulares:
y(x)=y_h(x)+u_p(x)+v_p(x).

Resposta

y(x)=e^{-3x/2}\Bigl(C_1\cos\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}x\bigr)+C_2\sin\bigl(\tfrac{\sqrt3}{2}x\bigr)\Bigr) +\Bigl(\tfrac{2}{13}x-\tfrac{9}{169}\Bigr)\cos x +\Bigl(\tfrac{3}{13}x-\tfrac{46}{169}\Bigr)\sin x +\tfrac{1}{13}e^{2x}.

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