EDOs de segunda ordem lineares(Coeficientes constantes).
Determine a solução geral das equações diferenciais:
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}+5 y=0

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO de segunda ordem linear com coeficientes constantes
y'' - 2y' + 5y = 0.
Para resolver, vamos usar o método da equação característica.

Passo 2

Formamos a equação característica associada substituindo y=e^{rx}:
r^2 - 2r + 5 = 0.

Passo 3

Calculamos as raízes pela fórmula de Bhaskara:
r = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 - 20}}{2} = \frac{2 \pm \sqrt{-16}}{2} = 1 \pm 2i.
Como o discriminante é negativo, as raízes são complexas conjugadas r = \alpha \pm i\beta com \alpha = 1 e \beta = 2.

Passo 4

Para raízes complexas conjugadas, a solução geral da EDO é
y(x) = e^{\alpha x}\bigl(C_1\cos(\beta x) + C_2\sin(\beta x)\bigr).
Substituindo \alpha = 1 e \beta = 2, obtemos a forma final.

Resposta

y(x) = e^{x}\Bigl(C_{1}\cos(2x) + C_{2}\sin(2x)\Bigr),
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

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