EDO’s de segunda ordem:
Use a substituição v=\frac{d y}{d x}, reduzindo a equação à primeira ordem em v :
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}+x=0

Passo 1

O enunciado dá a EDO de segunda ordem
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} + x = 0
e pede para usar a substituição v = \frac{dy}{dx} para reduzir a ordem da equação.

Passo 2

Com v = \frac{dy}{dx}, temos
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{dv}{dx},
logo a EDO vira uma de primeira ordem em v:
\frac{dv}{dx} + x = 0.

Passo 3

Reescrevendo como \frac{dv}{dx} = -x, integramos em relação a x:
v(x) = -\int x\,dx = -\frac{x^{2}}{2} + C_{1},
onde C_{1} é a constante de integração.

Passo 4

Como v = \frac{dy}{dx}, temos
\frac{dy}{dx} = -\frac{x^{2}}{2} + C_{1}.
Integrando de novo em x:
y(x) = \int\Bigl(-\tfrac{x^{2}}{2} + C_{1}\Bigr)\,dx = -\frac{x^{3}}{6} + C_{1}x + C_{2},
com C_{2} outra constante de integração.

Resposta

y(x) = -\frac{x^{3}}{6} + C_{1}x + C_{2}.

Exercícios relacionados