EDO’s de segunda ordem:
Use a substituição v=\frac{d y}{d x}, reduzindo a equação à primeira ordem em v :
\frac{d^{2} y}{d x^{2}}-\cos (x)=0

Passo 1

O enunciado apresenta a EDO de segunda ordem
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} - \cos(x) = 0
e pede para usarmos a substituição
v = \frac{dy}{dx}
reduzindo a equação a uma EDO de primeira ordem em v.

Passo 2

Com v = \frac{dy}{dx}, temos
\frac{d^{2}y}{dx^{2}} = \frac{dv}{dx},
logo a equação torna-se
\frac{dv}{dx} - \cos(x) = 0.

Passo 3

Isolando o derivado, obtemos
\frac{dv}{dx} = \cos(x).
Agora integrando em relação a x,
v(x) = \int \cos(x)\,dx = \sin(x) + C_{1},
onde C_{1} é constante de integração.

Passo 4

Lembrando que v = \frac{dy}{dx}, temos
\frac{dy}{dx} = \sin(x) + C_{1}.
Integramos novamente em x:
y(x) = \int \bigl(\sin(x) + C_{1}\bigr)\,dx = -\cos(x) + C_{1}\,x + C_{2},
onde C_{2} é outra constante de integração.

Resposta

y(x) = -\cos(x) + C_{1}\,x + C_{2}.

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